《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

23. [答案含评分细则] 新考向·阅读理解试题 (2023山西吕梁一模)(10分)阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的学习任务：
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等.
如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，求证：$AD^{2}+BC^{2}=AB^{2}+CD^{2}$.

证明：∵AC⊥BD于点O，
∴$AD^{2}+BC^{2}=(OA^{2}+OD^{2})+(OB^{2}+OC^{2})$(依据1)=$(OA^{2}+OB^{2})+(OD^{2}+OC^{2})=AB^{2}+CD^{2}$.
若对角线互相垂直的四边形内接于圆，则它还有什么特殊性质呢？通过探究，得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下(不完整)：
如图2，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD内接于⊙O，且AC⊥BD.
求证：$AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}$.

证明：如图，作直径BE，连接OA，OD，OC，AE.

∵BE是⊙O的直径，∴∠EAB = 90°(依据2)，
∴∠2 + ∠E = 90°.
∵AC⊥BD，
∴∠1 + ∠ACB = 90°.
学习任务：
(1)小宇同学的论文中，“依据1”和“依据2”分别是什么？
依据1：__________________________.
依据2：__________________________.
(2)请完成图2的剩余证明过程.
(3)如图3，已知四边形ABCD内接于⊙O，E为$\overset{\frown}{BC}$上一点，∠ACB + ∠E = 90°，若⊙O的直径为8，AB + CD = 10(AB ＜ CD)，请直接写出AB的长度.

答案：
解析：
(1)勾股定理；直径所对的圆周角等于90°。 ……2分
(2)如图，作直径BE，连接OA，OD，OC，AE，
∵BE是⊙O的直径，
∴$\angle EAB = 90^{\circ}$，
∴$\angle 2+\angle E = 90^{\circ}$。
∵AC⊥BD，
∴$\angle 1+\angle ACB = 90^{\circ}$。
∵$\angle E=\angle ACB$，
∴$\angle 1=\angle 2$， ……4分
∵$\angle AOE = 2\angle 2$，$\angle DOC = 2\angle 1$，
∴$\angle AOE=\angle DOC$，
∴DC = AE，……5分
∴$AB^{2}+CD^{2}=AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$，
∴$AB^{2}+CD^{2}=(2R)^{2}=4R^{2}$。 ……7分
(3)$AB = 5-\sqrt{7}$。……10分 详解：连接BD，交AC于点F，如图，
∵$\angle DBC=\angle E$，$\angle ACB+\angle E = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACB+\angle DBC = 90^{\circ}$，
∴$\angle BFC = 90^{\circ}$，
∴AC⊥BD， 由
(2)得$AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}$，
∴$\begin{cases}AB^{2}+CD^{2}=64\\AB + CD = 10\end{cases}$，
∵AB＜CD，
∴$AB = 5-\sqrt{7}$，$CD = 5+\sqrt{7}$。