《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

22.(新考向·开放型试题)(8分)数学课上，李老师在黑板上写了如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E.

李老师要求添加条件后，编成一道题目，并解答.
(1)在黑板内容中添加条件BC = 2，求AB的长，请你解答.
(2)以下是小明和小超的对话：
小明：我添加的条件是AO = 5，这样就可以求出BC的长了.
小超：你的太简单了，我添加的条件是∠A = 30°，连接OC，就可以证明△ABC与△ODC相似.
李老师：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超的证明的结论涉及了切线性质的知识，而小明的没有涉及切线性质的知识，请你解答小超提出来的问题.

答案：
解析 （1）
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°。
∵AC = 4，BC = 2，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$。 （2）如图，连接OC。
∵∠A = 30°，
∴∠COB = 60°。
∵OD⊥AB，
∴∠DOC = 30°，
∴∠A = ∠DOC。
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD = 90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACB = ∠OCD，
∴△ABC∽△ODC

23.(新考向·阅读理解试题)(2023山东济宁学院附中期末)(8分)
【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁.在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽.
性质：如图①，若∠ACB = ∠ADB = 90°，则点D在经过A，B，C三点的圆上.
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
(1)如图②，已知DA = DB = DC.求证：∠ADB = 2∠ACB.
(2)如图③，点A，B位于直线l两侧.用尺规在直线l上作出点C，使得∠ACB = 90°.(保留作图痕迹，不用写法)
(3)如图④，在四边形ABCD中，∠CAD = 90°，CB⊥DB，点F在CA的延长线上，连接DF，∠ADF = ∠ABD.求证：DF是△ACD外接圆的切线.

答案：
解析 （1）证明：如图，由DA = DB = DC，可知点A，B，C在以D为圆心，DA长为半径的圆上，
∴∠ADB = 2∠ACB

（2）如图，C₁，C₂就是要求所作的点。

（3）证明：如图，以CD的中点O为圆心，CD为直径作⊙O，则⊙O是△ACD的外接圆。 由∠DAC = ∠DBC = 90°，得点B在△ACD的外接圆上，
∴∠ACD = ∠ABD。

 
∵∠ADF = ∠ABD，
∴∠ACD = ∠ADF。
∵∠ACD + ∠ADC = 90°，
∴∠ADF + ∠ADC = 90°。
∴∠CDF = 90°，即CD⊥DF。
∴DF是△ACD外接圆的切线。