《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

16. [答案含评分细则](2024江苏南京高淳一中期中)(6分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D、E. 求证：AB = AC.

答案：
证明：连接OE，OD，如图，
∵AB，AC分别与小圆相切于点D、E，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，AD = AE， ……3分
∵AB，AC是大圆的弦，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$，
∴AB = AC。 ……6分

17. [答案含评分细则](2024安徽潜山开学测)(6分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1).
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标.
(2)将△A₁B₁C₁绕点C₁按顺时针方向旋转90°得到△A₂B₂C₁，连接A₁A₂，求出△A₁A₂B₁的面积.

答案：
解析：
(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为(-2,-1)。 ……3分
(2)如图，△A₂B₂C₁即为所求，$S_{\triangle A_{1}A_{2}B_{1}}=\frac{1}{2}\times6\times5 = 15$。 ……6分

18. [答案含评分细则](2023浙江金华中考)(6分)如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连接AB，过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证：四边形ABOH为矩形.
(2)已知⊙A的半径为4，OB = $\sqrt{7}$，求弦CD的长.

答案：
解析：
(1)证明：
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴。 ……1分 又
∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴$\angle AHO=\angle HOB=\angle OBA = 90^{\circ}$，
∴四边形AHOB是矩形。 ……3分
(2)连接AD，如图，
∵四边形AHOB是矩形，
∴$AH = OB=\sqrt{7}$，……4分
∵AD = 4，
∴$DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\sqrt{7})^{2}} = 3$。 ……5分
∵AH⊥CD，
∴CD = 2DH = 6。 ……6分

19. [答案含评分细则](2024甘肃陇西月考)(6分)如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO = 2.
(1)求∠C的大小.
(2)求阴影部分的面积.

答案：
解析：
(1)连接AC，如图1， 在⊙O中，CD⊥AB，AO⊥BC，AB、BC是两条弦，
∴直线CD，AE分别是AB，BC的垂直平分线， ……1分
∴AC = BC，AB = AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴$\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴$\angle BCD = 30^{\circ}$。 ……3分
(2)连接OB，如图2，由
(1)可知$\angle OAF = 30^{\circ}$，则$\angle AOB = 120^{\circ}$，
∵AO = 2，
∴OF = 1， ……4分 在Rt△AOF中，$AF=\sqrt{AO^{2}-OF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$， 则AB = 2AF = $2\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{\triangle AOB}=\frac{120\times\pi\times2^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times1=\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3}$。 ……6分