《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

7.(2024安徽宿州宿城一中期末，5，★☆☆)物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.一个正方形纸板的正投影不可能是（ ）
A.一条线段
B.一个与原正方形全等的正方形
C.一个邻边不等的平行四边形
D.一个等腰梯形

答案： D：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；当正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与该正方形纸板大小一样的正方形；当正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形（邻边可以不等）。正方形纸板的正投影不可能是等腰梯形。故选D。

8.(2024山东莱西期中，15，★☆☆)如图，一条线段AB在平面α内的正投影为A'B'，AB = 2$\sqrt{2}$，A'B' = $\sqrt{6}$，则∠B的度数为________.

答案：
答案：$60^{\circ}$ 解析：如图，过$A$作$AC\perp BB'$，交$BB'$于$C$点。 $\because AB$在平面$\alpha$内的正投影为$A'B'$， $\therefore\angle AA'B'=\angle BB'A' = 90^{\circ}$， $\therefore$四边形$AA'B'C$是矩形，$\therefore AC = A'B'=\sqrt{6}$， $\therefore\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore\angle B = 60^{\circ}$。

9.应用意识 (2024福建泉州期末)甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍.当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（ ）

A.4 m
B.8 m
C.12 m
D.16 m

答案：
B：连接$EF$，如图， 由题可知$EF// BD$，$\therefore\triangle CEF\sim\triangle CDB$， $\therefore\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$， $\because$两人同时从点$B$出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍， $\therefore BC + CE = 2BF = 40 + CE$，$\therefore BF=\frac{1}{2}(40 + CE)=20+\frac{1}{2}CE$，$\therefore CF = 40 - 20-\frac{1}{2}CE = 20-\frac{1}{2}CE$，$\therefore\frac{CE}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}CE}{40}$，$\therefore CE = 8\text{ m}$，故选B。

10.创新意识 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时刻，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB = 4.5 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G.
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
(3)如果小明沿线段BH向小颖走去，当小明走到BH的中点B₁处时，其影子为B₁C₁；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{3}$到B₂处时，其影子为B₂C₂；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{4}$到B₃处时，其影子为B₃C₃；…….按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的$\frac{1}{n + 1}$到Bₙ处时，其影子BₙCₙ的长为________m.(用含n的代数式表示)

答案：
解析：
(1)如图所示。
(2)根据题意，得$\triangle ABC\sim\triangle GHC$，$\therefore\frac{AB}{GH}=\frac{BC}{HC}$， $\therefore\frac{1.6}{GH}=\frac{3}{4.5 + 3}$，$\therefore GH = 4\text{ m}$。 答：路灯灯泡的垂直高度$GH$是4 m。
(3)$\frac{3}{n + 1}$。 详解：如图，易知$\triangle A_1B_1C_1\sim\triangle GHC_1$， $\therefore\frac{A_1B_1}{GH}=\frac{B_1C_1}{HC_1}$，即$\frac{1.6}{4}=\frac{B_1C_1}{B_1C_1 + 2.25}$，$\therefore B_1C_1 = 1.5\text{ m}$。 同理$\frac{A_2B_2}{GH}=\frac{B_2C_2}{HC_2}$，即$\frac{1.6}{4}=\frac{B_2C_2}{B_2C_2 + 1.5}$，$\therefore B_2C_2 = 1\text{ m}$， $\therefore\frac{1.6}{4}=\frac{B_nC_n}{B_nC_n+\frac{1}{n + 1}\times4.5}$，$\therefore B_nC_n=\frac{3}{n + 1}\text{ m}$。