《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

9.(2024四川德阳中考,8,★☆☆)已知，正六边形ABC - DEF的面积为6$\sqrt{3}$，则正六边形的边长为（M9224012）（ ）
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.4

答案：
C：如图，连接OA，OB，过点O作$OM\perp AB$，垂足为点M，因为六边形ABCDEF是正六边形，所以$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，因为$OA = OB$，所以$\triangle AOB$是正三角形，所以$OA = OB = AB$，设$AB = x$，则$OA = OB = x$，所以$S_{正六边形}=6S_{\triangle AOB}=6\sqrt{3}$，所以$6\times\frac{1}{2}\times x\times\frac{\sqrt{3}}{2}x = 6\sqrt{3}$，解得$x = 2$或$x = - 2$（舍去），即正六边形的边长为2。故选C。

10.跨化学·苯环 (2024安徽合肥蜀山二模,5,★☆☆)苯(分子式为C₆H₆)的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形(如图1)，图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF - ∠COD的度数为(M9224012)（ ）

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

答案： A：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以$\angle A=\angle ABC=\frac{(6 - 2)\times180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$，因为$AB = AF$，所以$\angle ABF=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$，所以$\angle CBF=\angle ABC-\angle ABF = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，因为$\angle COD=\frac{1}{6}\times360^{\circ}=60^{\circ}$，所以$\angle CBF-\angle COD=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。故选A。

11.情境题·数学文化 (2023福建中考,10,★☆☆)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”以圆内接正六边形的面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）

A.$\sqrt{3}$
B.2$\sqrt{2}$
C.3
D.2$\sqrt{3}$

答案：
C：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作$AM\perp OB$于M，在正十二边形中，$\angle AOB = 360^{\circ}\div12 = 30^{\circ}$，所以$AM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB\cdot AM=\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，所以正十二边形的面积为$12\times\frac{1}{4}=3$，所以$3 = 1^{2}\times\pi$，所以$\pi = 3$，所以$\pi$的估计值为3。故选C。

12.(2021内蒙古赤峰中考,17,★☆☆)如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手的开口宽度b = 20 mm，则边长a =_______mm.

答案：
答案：$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ 解析：如图，设正六边形的中心为O，连接OC、OD，过O作$OH\perp CD$于H，则$\angle COD=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，所以$\angle COH=\frac{1}{2}\angle COD = 30^{\circ}$，因为$OC = OD$，所以$\triangle OCD$是等边三角形，因为$OH\perp CD$，所以$CH = DH=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}mm$，易知$OH=\frac{b}{2}=10mm$，所以$CH = 10\times\tan30^{\circ}=\frac{10\sqrt{3}}{3}mm$，所以$a = 2CH=\frac{20\sqrt{3}}{3}mm$。

13.(2024四川宜宾中考,15,★☆☆)如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是_______.

答案：
答案：$2\sqrt{5}+2$ 解析：连接BE交AC于O，如图。因为五边形ABCDE是正五边形，所以$\angle CBA=\angle BAE=(5 - 2)\times180^{\circ}\div5 = 108^{\circ}$，$BC = AB = AE$，所以$\angle BCA=\angle BAC=\angle ABE=\angle AEB=(180^{\circ}-108^{\circ})\div2 = 36^{\circ}$，所以$\angle CBO=\angle ABC-\angle ABE = 108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，所以$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle CBO-\angle BCA = 180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，所以$\angle CBO=\angle BOC$，所以$CO = BC = 4$，因为$\angle BAO=\angle CAB$，$\angle ABO = 36^{\circ}=\angle ACB$，所以$\triangle ABO\sim\triangle ACB$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AO}{AB}$，即$\frac{4}{AC}=\frac{AC - 4}{4}$，解得$AC = 2\sqrt{5}+2$或$AC = 2 - 2\sqrt{5}$（舍去），经检验，$AC = 2\sqrt{5}+2$符合题意。

14.跨历史·彩陶 (2024甘肃中考,20,★☆☆)马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.图1中的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知⊙O和圆上一点M.作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法).
(2)根据(1)画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2 cm，则△ABC的周长为_______cm.

答案：
解析： （1）如图，点A，B，C即为所求。 （2）如图，连接OA，OB，设CM交AB于点E。因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，所以$AB = CB = AC$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，因为CM为直径，所以$\overset{\frown}{CAM}=\overset{\frown}{CBM}$，所以$\overset{\frown}{CAM}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CBM}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，所以$\angle AOM=\angle BOM = 60^{\circ}$，$OE\perp AB$，所以$AE = EB = AO\cdot\sin60^{\circ}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(cm)$，所以$AB = 2\sqrt{3}cm$，所以$\triangle ABC$的周长为$6\sqrt{3}cm$。故填$6\sqrt{3}$。