《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024广东兴宁月考)已知圆锥的母线长为10,侧面展开图面积为60π,则该圆锥的底面圆的半径长等于 ( )
A.4
B.6
C.8
D.12

答案： B 设圆锥的底面半径为R，则圆锥的底面周长 = 2πR，圆锥的侧面展开图的面积 = $\frac{1}{2}$×2πR×10 = 60π，
∴ R = 6. 故选B.

2.一题多解(2024广西河池三模)如图,要用一个扇形纸片围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计),若该圆锥的底面圆周长为8π cm,侧面积为72π cm²,则这个扇形的圆心角的度数是 (M9224013) ( )

A.70°
B.80°
C.90°
D.100°

答案： B 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，侧面展开图的扇形圆心角为θ°.\n【解法一】 由2πr = 8π，得r = 4. 由π×4l = 72π，得l = 18. 由$\frac{θ\cdot π\cdot 18}{180}$ = 8π，得θ = 80.\n【解法二】 由2πr = 8π，得r = 4. 由$\frac{θ\cdot π\cdot l}{180}$ = 8π，得l = $\frac{1440}{θ}$.
∵ π×4×l = 72π，
∴ $\frac{1440×4π}{θ}$ = 72π，
∴ θ = 80. 故选B.

3.易错题 如图,已知圆柱体底面圆的半径为$\frac{2}{\pi}$,高为2,AB、CD分别是两底面圆的直径.若一只蚂蚁从A点出发,沿圆柱表面爬行到C点,则蚂蚁爬行的最短距离是________.(结果保留根号)

答案：
答案 $2\sqrt{2}$ 解析 如图，沿AD将该圆柱的侧面剪开并展平，则点C落在点C'的位置，由题意知AD = 2，DC' = $\frac{1}{2}$×2π×$\frac{2}{π}$ = 2. 易知蚂蚁爬行的最短距离为AC'的长，AC' = $\sqrt{AD^{2}+DC'^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}+2^{2}}$ = $2\sqrt{2}$.

4.如图,已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9 cm,圆心角为120°的扇形.求：
(1)圆锥的底面半径.
(2)圆锥的全面积.

答案： 解析 \n（1）设该圆锥的底面半径为r cm，根据题意，得2πr = $\frac{120π×9}{180}$，解得r = 3，即该圆锥的底面半径为3 cm.\n（2）
∵ 该圆锥的侧面积 = $\frac{120π×9^{2}}{360}$ = 27π（cm²），圆锥的底面积 = π·3² = 9π（cm²），
∴ 圆锥的全面积为27π + 9π = 36π（cm²）.

5.(2024广西南宁三中月考,11,★★☆)如图所示,在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形,使之恰好围成一个圆锥,已知圆的半径为r,扇形的半径为R,则R、r之间的关系为 ( )

A.R = 2r
B.R = $\frac{9}{4}$r
C.R = 3r
D.R = 4r

答案： D 由题意知，扇形的弧长 = $\frac{90πR}{180}$ = $\frac{πR}{2}$，圆的周长为2πr，
∴ $\frac{πR}{2}$ = 2πr，
∴ R = 4r，故选D.

6.(2023内蒙古赤峰中考,13,★★☆)某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是 ( )

A.30 cm
B.30$\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.20π cm

答案：
B
∵ 圆锥的底面圆周长为20π cm，
∴ 圆锥侧面展开图的扇形的弧长为20π cm，设扇形的圆心角为n°，
∴ $\frac{nπ×30}{180}$ = 20π，解得n = 120，
∴ ∠ABA' = 120°，如图，连接AA'，过B作BC⊥AA'于点C，
∴ ∠BAA' = 30°，
∴ AC = AB·cos 30° = 30×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $15\sqrt{3}$（cm），
∴ AA' = 2AC = $30\sqrt{3}$ cm，
∴ 这条彩带的最短长度是$30\sqrt{3}$ cm. 故选B.

7.(2024安徽马鞍山七中二模,13,★★☆)如图,从一块半径是$\sqrt{13}$ cm的圆形铁皮上剪下一个圆心角(∠BAC)为60°的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面,若OA = 2 cm,则圆锥的高是________.

答案：
答案 $\frac{\sqrt{105}}{2}$ cm 解析 如图，连接OB，过点O作OH⊥AB于H. 由对称性可知，∠OAH = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，
∵ ∠AHO = 90°，AO = 2 cm，
∴ OH = $\frac{1}{2}$OA = 1 cm，
∴ AH = $\sqrt{3}$OH = $\sqrt{3}$ cm，
∴ BH = $\sqrt{OB^{2}-OH^{2}}$ = $\sqrt{13 - 1}$ = $2\sqrt{3}$（cm），
∴ AB = $3\sqrt{3}$ cm，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的长 = $\frac{60π\cdot 3\sqrt{3}}{180}$ = $\sqrt{3}$π（cm），设圆锥的底面圆的半径为R cm，则2πR = $\sqrt{3}$π，
∴ R = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ 圆锥的高 = $\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$ = $\frac{\sqrt{105}}{2}$（cm）.

8.(2024山东烟台中考,14,★★☆)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,FB的长为半径作$\overset{\frown}{BD}$,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为________.(M9224013)

答案：
答案 $\sqrt{3}$ 解析 如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM = FM，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠BAF = ∠E = $\frac{(6 - 2)×180°}{6}$ = 120°，AB = AF = EF = DE = 6，
∴ ∠ABF = ∠AFB = ∠DFE = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°，
∴ ∠BFD = 120° - 30° - 30° = 60°，在Rt△ABM中，AB = 6，∠ABM = 30°，
∴ BM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB = $3\sqrt{3}$，
∴ BF = 2BM = $6\sqrt{3}$，设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，2πr = $\frac{60π×6\sqrt{3}}{180}$，解得r = $\sqrt{3}$.