《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

9.推理能力 新考向·阅读理解试题 (2024河南开封二模)小明同学学习了《圆》这一章后,对圆的数学史产生了兴趣,下面是他整理的相关材料.

请结合以上材料与所学知识回答下列问题:
(1)根据图(2),运用材料一的内容,完成对材料二的证明.
已知:直线AP是⊙O的一条割线,与⊙O交于点A,B,PT与⊙O相切,切点为T,求证:________.
证明:……
(2)将图(2)中的直线AP绕点P旋转至过圆心O,如图(3),恰好AB∶BP = 3∶1,若PT的长为2$\sqrt{3}$,求BP的长.

答案：
解析 （1）已知：直线AP是⊙O的一条割线，与⊙O交于点A，B，PT与⊙O相切，切点为T，求证：PT² = PA·PB. 证明：如图，连接AT，BT，易得∠BTP = ∠PAT，因为∠P = ∠P，所以△BPT∽△TPA，所以$\frac{PB}{PT}=\frac{PT}{PA}$，所以PT² = PA·PB. （2）设BP = x，则AB = 3x，所以PA = 4x. 因为PA·PB = PT²，PT = $2\sqrt{3}$，所以4x·x = $(2\sqrt{3})^2$，解得$x_1=\sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$（舍），所以BP = $\sqrt{3}$.

10.模型观念 (2021四川遂宁中考)已知平面直角坐标系中,点P(x₀,y₀)和直线Ax + By + C = 0(其中A,B不全为0),则点P到直线Ax + By + C = 0的距离可用公式d = $\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$来计算.
例如:求点P(1,2)到直线y = 2x + 1的距离,y = 2x + 1可化为2x - y + 1 = 0,其中A = 2,B = -1,C = 1,所以点P(1,2)到直线y = 2x + 1的距离为d = $\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ = $\frac{|2×1+(-1)×2+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点M(0,3)到直线y = $\sqrt{3}$x + 9的距离.
(2)在(1)的条件下,⊙M的半径r = 4,判断⊙M与直线y = $\sqrt{3}$x + 9的位置关系,若相交,设其弦长为n,求n的值;若不相交,说明理由.

答案：
解析 （1）$y = \sqrt{3}x + 9$可变形为$\sqrt{3}x - y + 9 = 0$，其中A = $\sqrt{3}$，B = -1，C = 9，由公式得，点M(0,3)到直线$y = \sqrt{3}x + 9$的距离$d = \frac{|\sqrt{3}×0 - 3 + 9|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = 3$，所以点M(0,3)到直线$y = \sqrt{3}x + 9$的距离为3. （2）相交. 由（1）可知，圆心M到直线$y = \sqrt{3}x + 9$的距离d = 3，因为⊙M的半径r = 4，所以d ＜ r，所以直线$y = \sqrt{3}x + 9$与⊙M相交. 两交点记作E，F，如图， 连接EM，过点M作MH⊥EF于H，则EF = 2EH，在Rt△EHM中，EM = 4，MH = 3，根据勾股定理，得$EH = \sqrt{EM^2 - MH^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，所以弦长n = EF = 2EH = $2\sqrt{7}$.