《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024福建南平一模)如图,已知△ABC,AB = AC,AD是高,用尺规作图的方法作出△ABC的内心O,则下列作图正确的是(M9224011) ( )

答案： C。因为$AB = AC$，$AD$是高，所以$AD$平分$\angle BAC$，要用尺规作图的方法作出$\triangle ABC$的内心$O$，只需作出$\angle ACB$或$\angle ABC$的平分线，角平分线与$AD$的交点即为$\triangle ABC$的内心，故选C。

2.(2023广西南宁期中)如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且CD = 2,AB = 7,则△ABC的周长为 ( )

A.18
B.16
C.14
D.12

答案： A。因为$\triangle ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，所以$CE = CD = 2$，$AE = AF$，$BF = BD$，又因为$AF + BF = AB = 7$，所以$AE + BD = AB = 7$，则$\triangle ABC$的周长$= 2 + 2+7 + 7 = 18$，故选A。

3.【实际问题】某工程队想要在一块三角形空地上做一个最大的圆形.
【问题建模】如图,有一块三角形材料(△ABC),请你在这块材料上作一个面积最大的圆.
【问题解决】请用2B铅笔、直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹.(M9224011)

答案：
如图，$\odot O$即为所求。

方法归纳 三角形内切圆的作法：先作三角形任意两个角的平分线，然后以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形一边的距离为半径作圆。

4.(2024江苏泗洪三模)已知三角形内的一个点到它的三边距离相等,那么这个点是 ( )
A.三角形的外心
B.三角形的重心
C.三角形的内心
D.三角形的垂心

答案： C。因为三角形内的一个点到它的三边距离相等，所以以这个点为圆心，以这个点到三角形一边的距离为半径的圆与三角形各边都相切，那么这个点是三角形的内心，故选C。

5.(2024安徽合肥瑶海一模)如图,在△ABC中,∠A = 80°,I是△ABC的内心,连接BI、CI,则∠BIC的度数是(M9224008) ( )

A.110°
B.120°
C.130°
D.140°

答案： C。因为$I$为$\triangle ABC$的内心，所以$\angle ABI=\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ACI=\angle ICB=\frac{1}{2}\angle ACB$，因为$\angle A = 80^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A = 100^{\circ}$，则$\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=50^{\circ}$，即$\angle IBC+\angle ICB = 50^{\circ}$，所以$\angle BIC = 180^{\circ}-(\angle IBC+\angle ICB)=130^{\circ}$，故选C。

6.已知三角形的面积为24,周长为24,则这个三角形内切圆的半径为_______.

答案： 2。解析：设这个三角形内切圆的半径是$r$，因为三角形的面积为24，周长为24，所以$\frac{1}{2}\times24r = 24$，解得$r = 2$。

7.情境题·数学文化 一题多解 一古书中记载了一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆径几何?”译文:“如图,今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步?”根据题意,该直角三角形的内切圆的直径为________步.

[变式·已知直角三角形外接圆的半径及面积]一直角三角形的外接圆的半径为2.5,面积为6,则其内切圆半径为_______.

答案：
4。\n**解法一**：由题意可知，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AC = 12$，$\odot O$为$Rt\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$、$E$、$F$，如图，连接$OD$、$OE$，因为$AC$、$BC$与$\odot O$相切，所以$OD\perp BC$，$OE\perp AC$，$CD = CE$，又因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以四边形$ODCE$为正方形，设$\odot O$的半径为$r$，则$CD = CE = OD = r$，所以$BD = 5 - r$，$AE = 12 - r$，因为$BD = BF$，$AF = AE$，所以$BF = 5 - r$，$AF = 12 - r$，因为$AB=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$，所以$5 - r+12 - r = 13$，解得$r = 2$，所以内切圆的直径为4。\n**解法二**：因为$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AC = 12$，所以$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$。设内切圆的半径为$r$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AB + BC + CA)\cdot r$，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}(AB + BC + CA)\cdot r$，即$\frac{1}{2}\times5\times12=\frac{1}{2}\times(13 + 5+12)\cdot r$，解得$r = 2$，所以内切圆的直径是4。

#### 变式 **答案**：1。解析：设该直角三角形的两条直角边长为$a$，$b$，斜边长为$c$，因为直角三角形的外接圆的半径为2.5，所以$c = 5$。又该直角三角形的面积为6，所以$\frac{1}{2}ab = 6$，所以$ab = 12$。因为$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=c^{2}+2ab = 49$，所以$a + b = 7$，所以内切圆半径$r=\frac{1}{2}\times(7 - 5)=1$。 #### 方法归纳 直角三角形内切圆半径的公式：若直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，则直角三角形的内切圆半径$r=\frac{a + b - c}{2}=\frac{ab}{a + b + c}$。