《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

20. [答案含评分细则](2024安徽江淮名校大联考)(8分)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：AB = AC.
(2)若AE = 2，CD = $2\sqrt{6}$，求OA的长.

答案：
解析：
(1)证明：连接OD，如图，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD， ……1分
∵DE⊥AC，
∴OD//AC，
∴$\angle ODB=\angle C$，……2分
∵OB = OD，
∴$\angle B=\angle ODB$，……3分
∴$\angle B=\angle C$，
∴AB = AC。 ……4分
(2)连接AD，如图，
∵AB为直径，
∴$\angle ADB = 90^{\circ}$，
∴$\angle CDA = 90^{\circ}$。
∵DE⊥AC，
∴$\angle DEC = 90^{\circ}$。 ……5分
∵$\angle ECD=\angle DCA$，$\angle CED=\angle CDA$，
∴△CDE∽△CAD。 ……6分
∴CD∶CA = CE∶CD，即$2\sqrt{6}$∶CA=(CA - 2)∶$2\sqrt{6}$， 解得CA = 6或CA = -4(舍去)，
∴AB = AC = 6，
∴OA = 3。 ……8分

21. [答案含评分细则](2024广东丰顺期末)(8分)如图，在△ABC中，AB = AC = $2\sqrt{10}$，BC = 4，⊙O是△ABC的外接圆.
(1)求⊙O的半径.
(2)若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA = 2，求⊙P的半径.

答案：
解析：
(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC， ……1分
∵OB = OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，
∵BC = 4，
∴$BD=\frac{1}{2}BC = 2$， ……2分 在Rt△ABD中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{10}$，
∴$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}} = 6$， ……3分 设OA = OB = r，则OD = 6 - r。 在Rt△OBD中，$\angle ODB = 90^{\circ}$，
∴$OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$，即$(6 - r)^{2}+2^{2}=r^{2}$。 解得$r=\frac{10}{3}$，即⊙O的半径为$\frac{10}{3}$。 ……5分
(2)当⊙P也经过B、C两点时，设PB = r，
∵PA = 2，
∴结合
(1)知PD = 6 - 2 = 4或PD = 6 + 2 = 8， ……6分
∵BD = 2，
∴$PB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$或$PB=\sqrt{8^{2}+2^{2}}=2\sqrt{17}$。
∴⊙P的半径为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$。 ……8分

22. [答案含评分细则](2024安徽亳州谯城三模)(8分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE = BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线.
(2)若EF = 18，cos F = $\frac{3}{5}$，求⊙O的半径.

答案：
解析：
(1)证明：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$\angle CEB+\angle CBE = 90^{\circ}$。
∵BE = BF，
∴$\angle CEB=\angle F$， ……2分
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\angle CBE=\angle CAB$，
∴$\angle F+\angle CAB = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABF = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线。 ……4分
(2)
∵BE = BF，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$CE = CF=\frac{1}{2}EF = 9$， 在Rt△BCF中，
∵$\cos F=\frac{CF}{BF}=\frac{3}{5}$，
∴$BF=\frac{5\times9}{3}=15$。 ……6分 在Rt△ABF中，
∵$\cos F=\frac{BF}{AF}=\frac{3}{5}$，
∴$AF=\frac{5\times15}{3}=25$，
∴$AB=\sqrt{AF^{2}-BF^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}} = 20$，
∴⊙O的半径为10。 ……8分