《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

8. 【安徽核心考法】【一题多解】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$为$BC$中点，在$BA$的延长线上取一点$E$，使得$ED = EC$，$ED$与$AC$交于点$F$，求$\frac{AF}{CF}$的值。

答案： 解:方法1:连接AD,过点E作EM⊥CD于点M.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴∠B=∠ACB,AD⊥BC,BD=CD.
∵ED=EC,EM⊥CD,
∴DM=CM=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BD$,AD//EM.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DM}{BD}=\frac{1}{2}$.
∵∠EDC=∠B+∠BED,∠ECD=∠ECA+∠ACB,
∴∠BED=∠ECA.
∴△AEF∽△ACE.
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AE}$.
∴AE² = AF·AC.设AE = a,则AC = AB = 2AE = 2a.
∴a² = 2a·AF.
∴AF=$\frac{1}{2}a$.
∴CF=$\frac{3}{2}a$.
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{1}{3}$.方法2:过点D作DG//AC,交EB于点G,连接AD.
∵D为BC中点,DG//AC,
∴G为AB的中点,∠EAC=∠DGE.
∴DG是△ABC的中位线.
∴AC=2DG.
∵AB=AC,ED=EC,
∴∠B=∠ACB,∠EDC=∠ECD.
∵∠EDC=∠B+∠DEG,∠ECD=∠ACB+∠ACE,
∴∠ACE=∠DEG.在△ACE和△GED中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EAC=∠DGE,\\ ∠ACE=∠DEG,\\ EC=DE,\end{array}\right.$
∴△ACE≌△GED(AAS).
∴AE=DG.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.
∴DG=$\frac{1}{2}AB=AG=BG$.
∴AE=AG.
∵DG//AC,
∴$\frac{AF}{DG}=\frac{AE}{GE}=\frac{1}{2}$,即DG=2AF.
∴AC=2DG=4AF.
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{1}{3}$.

9. (2024·亳州模拟)如图 1，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$E$是边$BC$的中点，点$F$在边$AC$上，连接$FE$并延长到点$G$，使$EG = EF$。
(1) 求证：$BG \perp AB$；
(2) 如图 2，$M$是边$AB$的中点，连接$EM$，$FM$，$EN$平分$\angle MEC$交$FM$于点$N$。若$BE = BM + BG$，求证：$MN = FN$。

答案： 证明:
(1)
∵AB=AC,∠A=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵E是边BC的中点,
∴BE=CE.又
∵∠BEG=∠CEF,EG=EF,
∴△BEG≌△CEF(SAS).
∴∠EBG=∠ECF=45°.
∴∠ABG=∠ABC+∠EBG=90°.
∴BG⊥AB.
(2)延长EN交AC于点H,
∵M是AB的中点,E是BC的中点,
∴EM//AC.
∴∠MEN=∠CHE.
∵EN平分∠MEC,
∴∠MEN=∠CEH.
∴∠CHE=∠CEH.
∴CE=CH.由
(1)知,△BEG≌△CEF.
∴BG=CF.
∵BE=CE=CH,即BM+BG=FH+CF.
∴BM=FH.
∵AB=AC,EM//AC,
∴∠MBC=∠C=∠MEB.
∴BM=EM.
∴FH=EM.又
∵∠MEN=∠FHN,∠MNE=∠FNH,
∴△MNE≌△FNH(AAS).
∴MN=FN.