《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

变式 3
（2024·安庆四中二模）已知二次函数 $ y = ax^2 + bx - 2 $ 的图象经过 $ (-1,0) $，$ (3,0) $ 两点。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 已知点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 都在该函数的图象上。若 $ x_1 + x_2 = 6 $，求 $ y_1 + y_2 $ 的最小值。

答案：
(1)
因为二次函数$y = ax^{2}+bx - 2$的图象经过$(-1,0)$，$(3,0)$两点，
将点代入函数可得$\begin{cases}a - b - 2 = 0\\9a+3b - 2 = 0×3^{2}（即9a + 3b-2 = 0）\end{cases}$（将$x=-1,y = 0$和$x = 3,y = 0$代入$y=ax^{2}+bx - 2$），
由$a - b-2 = 0$可得$b=a - 2$，
将$b=a - 2$代入$9a+3b - 2 = 0$，
$9a+3(a - 2)-2 = 0$，
$9a+3a-6 - 2 = 0$，
$12a=8$，
解得$a=\frac{2}{3}$，
则$b=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}$。
所以该二次函数的解析式为$y=\frac{2}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x - 2$。
(2)
因为点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$都在该函数的图象上，
所以$y_{1}=\frac{2}{3}x_{1}^{2}-\frac{4}{3}x_{1}-2$，$y_{2}=\frac{2}{3}x_{2}^{2}-\frac{4}{3}x_{2}-2$，
则$y_{1}+y_{2}=\frac{2}{3}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-\frac{4}{3}(x_{1}+x_{2})-4$，
因为$x_{1}+x_{2}=6$，所以$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=36 - 2x_{1}x_{2}$，
$y_{1}+y_{2}=\frac{2}{3}(36 - 2x_{1}x_{2})-\frac{4}{3}×6-4$
$=\frac{2}{3}(36 - 2x_{1}x_{2})-8 - 4$
$=24-\frac{4}{3}x_{1}x_{2}-12$
$=12-\frac{4}{3}x_{1}x_{2}$
由$x_{1}+x_{2}=6$，得$x_{2}=6 - x_{1}$，
则$y_{1}+y_{2}=12-\frac{4}{3}x_{1}(6 - x_{1})$
$=12-\frac{4}{3}(6x_{1}-x_{1}^{2})$
$=12 - 8x_{1}+\frac{4}{3}x_{1}^{2}$
$=\frac{4}{3}(x_{1}^{2}-6x_{1})+12$
$=\frac{4}{3}(x_{1}^{2}-6x_{1}+9 - 9)+12$
$=\frac{4}{3}[(x_{1}-3)^{2}-9]+12$
$=\frac{4}{3}(x_{1}-3)^{2}-12 + 12$
$=\frac{4}{3}(x_{1}-3)^{2}\geqslant0$
当$x_{1}=3$时，$y_{1}+y_{2}$取得最小值$0$。

1. (2024·宁夏)若二次函数 $ y = 2x^2 - x + m $ 的图象与 $ x $ 轴有交点，则 $ m $ 的取值范围是。

答案： 1.$m\leqslant \dfrac{1}{8}$

2. (2024·安徽模拟)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $，则抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 的对称轴为直线()

A.$ x = 1 $
B.$ x = -1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = -2 $

答案： 2.A

3. 如图，这是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分图象。由图象可知，不等式 $ ax^2 + bx + c ＜ 0 $ 的解集是()

A.$ -1 ＜ x ＜ 5 $
B.$ x ＞ 5 $
C.$ x ＜ -1 $，且 $ x ＞ 5 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 5 $

答案： 3.D

4. (沪科 9 上 P35 习题 T7 变式)如图，这是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 图象的一部分，图象过点 $ A(3,0) $，二次函数图象的对称轴为直线 $ x = 1 $。给出四个结论：① $ b^2 ＞ 4ac $；② $ bc ＜ 0 $；③ $ 2a + b = 0 $；④ $ a + b + c = 0 $。其中正确的是()

A.②④
B.①③
C.②③
D.①④

答案： 4.B

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + x - m = 0 $。
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 $ m $ 的取值范围；
(2) 二次函数 $ y = x^2 + x - m $ 的部分图象如图所示，求一元二次方程 $ x^2 + x - m = 0 $ 的解。

答案： 5.解:
(1)$\because$一元二次方程$x^{2}+x-m=0$有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta＞0$,即$1+4m＞0$.$\therefore m＞-\dfrac{1}{4}$.
(2)二次函数$y=x^{2}+x-m$图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore$抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=-\dfrac{1}{2}$对称.由图可知,抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$,$\therefore$另一个交点坐标为$(-2,0)$.$\therefore$一元二次方程$x^{2}+x-m=0$的解为$x_{1}=1$,$x_{2}=-2$.