《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

变式
（1）如图1，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点，连接 $BD,EF$。求证：$\triangle BCD\sim\triangle FBE$；
（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$E$ 是 $AB$ 的中点，点 $F$ 在边 $BC$ 上。若 $AD = 2CF$，$EF$ 与 $BD$ 交于点 $G$，求证：$BG = FG$。

答案：
解:
(1)证明:
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD.
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}$.
∵∠EBF=∠C=90°,
∴△BCD∽△FBE.
(2)证明:(方法一)如图1,延长FE交DA的延长线于点M,作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF是矩形.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE.
∵AM//BC,
∴∠AME=∠BFE,∠MAE=∠FBE.
∴△AME≌△BFE(AAS).
∴AM=BF.
∵AD=2CF,CF=DH,
∴AH=DH=CF.
∴AM+AH=BF+CF,即MH=BC.
∵FH=CD,∠MHF=∠BCD=90°,
∴△MFH≌△BDC(SAS).
∴∠AMF=∠CBD.又
∵∠AMF=∠BFG,
∴∠CBD=∠BFG.
∴BG=FG.(方法二)如图2,取BD的中点H,连接EH,CH.
∵E是AB的中点,H是BD的中点,
∴EH=$\frac{1}{2}$AD,EH//AD.
∵AD=2CF,
∴EH=CF.
∵AD//BC,
∴EH//CF.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴EF//CH.
∴∠HCB=∠GFB.
∵∠BCD=90°,H是BD的中点,
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BD.
∴∠HCB=∠HBC.
∴∠GFB=∠HBC.
∴BG=FG.

1. (2023·合肥一模)已知 $2x = 3y$，则下列比例式成立的是(C)

A.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
B.$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$
C.$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$
D.$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$

答案： C

2. (2024·合肥一模)如图，在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$CD = 4$，$AC$ 平分 $\angle BCD$，交 $BD$ 于点 $E$，$AF\perp BC$ 于点 $F$，交 $BD$ 于点 $G$。若 $BF = 2$，$CF = 6$，则 $EC$ 的长为(C)

A.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{10\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{8\sqrt{2}}{3}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： C

3. 如图，图1是装满了液体的高脚杯(数据如图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上，如图2所示，此时液面距离杯口的距离 $h=$(A)


A.$\frac{8}{5}cm$
B.$2cm$
C.$\frac{12}{5}cm$
D.$3cm$

答案： A