《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. 如图，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ E $ 为 $ \odot O $ 上一点，点 $ C $ 为 $ \overset{\frown}{EB} $ 的中点，过点 $ C $ 作 $ CD \perp AE $，交 $ AE $ 的延长线于点 $ D $，延长 $ DC $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $。求证：$ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线。

答案： 证明：连接 OC，
∵点 C 为$\widehat {EB}$的中点，$\therefore \widehat {EC}=\widehat {BC}$．$\therefore ∠EAC=∠BAC$．$\because OA=OC$，$\therefore ∠BAC=∠OCA$．$\therefore ∠EAC=∠OCA$．$\therefore AE// OC$．$\therefore ∠ADC=∠OCF$．$\because CD⊥AE$，$\therefore ∠ADC=90^{\circ }$．$\therefore ∠OCF=90^{\circ }$．$\therefore OC⊥DF$．又
∵OC 为$\odot O$的半径，$\therefore CD$是$\odot O$的切线．

2. (人教9上P101习题T4改编)如图，$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线，$ B $ 为切点，连接 $ OA $，$ OC $。若 $ \angle A = 30^{\circ} $，$ AB = 2\sqrt{3} $，$ BC = 3 $，则 $ OC $ 的长是(C)

A.3
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ \sqrt{13} $
D.6

答案： C

3. (2018·安徽T12·5分)如图，菱形 $ ABOC $ 的边 $ AB $，$ AC $ 分别与 $ \odot O $ 相切于点 $ D $，$ E $。若点 $ D $ 是 $ AB $ 的中点，则 $ \angle DOE = $60°。

答案： 60°

4. （人教9上P101习题T6改编）如图，$ PA $，$ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线，$ A $，$ B $ 为切点，$ AC $ 是 $ \odot O $ 的直径。
(1) 连接 $ BC $，$ OP $，求 $ BC $ 与 $ OP $ 的位置关系；
(2) 若 $ \angle BAC = 25^{\circ} $，求 $ \angle P $ 的度数；
(3) 若 $ AC = 10 $，$ AP = 12 $，求 $ AB $ 的长。

答案：
(1)
∵AC 是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ABC=90^{\circ }$．连接 OB，设 OP 交 AB 于点 H，
∵PA，PB 是$\odot O$的切线，$\therefore PA=PB$．又$\because OA=OB$，$\therefore OP$垂直平分 AB．$\therefore ∠OHA=∠ABC=90^{\circ }$．$\therefore OP// BC$．
(2)
∵PA，PB 是$\odot O$的切线，$\therefore OA⊥PA$，$PA=PB$．$\therefore ∠OAP=90^{\circ }$，$∠PAB=∠PBA$．$\because ∠BAC=25^{\circ }$，$\therefore ∠PAB=∠PBA=65^{\circ }$．$\therefore ∠APB=50^{\circ }$．
(3)$\because AC=10$，$\therefore OA=OC=5$．在$Rt△AOP$中，$OP=\sqrt {OA^{2}+AP^{2}}=13$．由
(1)知，$OP⊥AB$，$\therefore ∠CAB+∠BAP=∠BAP+∠APH=90^{\circ }$．$\therefore ∠CAB=∠APH$．$\therefore △ABC\backsim △PAO$．$\therefore \frac {AB}{PA}=\frac {AC}{PO}$，即$\frac {AB}{12}=\frac {10}{13}$．$\therefore AB=\frac {120}{13}$．