《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

变式
【2020·安徽T23核心考法】如图，在正方形ABCD中，G为线段BD上一点，连接AG，过点G作GE⊥AG交BC于点E，连接AE.求证：BG=DG+$\sqrt{2}$BE.

答案： 证明：过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，作 GM⊥AB 于点 M，过点 E 作 EF⊥BC，交 BD 于点 F.
∵四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，
∴BF=√2BE，GM=GN.
∵AG⊥GE，GN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠AMG=∠ENG=90°，∠AGM+∠MGE=∠EGN+∠MGE.
∴∠AGM=∠EGN.
∴△AGM≌△EGN(ASA).
∴AM=EN.
∵DG=BD-BG=√2AB-√2BM=√2AM，FG=BG-BF=√2BN-√2BE=√2EN，
∴DG=FG.
∴BG=FG+BF=DG+√2BE.

如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点(与点A，C不重合)，过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F.
(1)求证：PB=PE；
(2)在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明理由.

答案： 解：
(1)证明：过点 P 作 PG⊥BC 于点 G，作 PH⊥DC 于点 H.
∵四边形 ABCD 是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.
∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=90°.
∴∠BPG=90°-∠GPE=∠EPH. 在△PGB 和△PHE 中，{∠PGB=∠PHE,PG=PH,∠BPG=∠EPH,
∴△PGB≌△PHE(ASA).
∴PB=PE.
(2)连接 BD，交 AC 于点 O.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BOP=90°.
∵∠BPE=90°，
∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF.
∵EF⊥PC，即∠PFE=90°，
∴∠BOP=∠PFE. 在△BOP 和△PFE 中，{∠PBO=∠EPF,∠BOP=∠PFE,PB=EP,
∴△BOP≌△PFE(AAS).
∴BO=PF.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°.
∴BC=√2OB.
∵BC=1，
∴OB=√2/2.
∴PF=OB=√2/2.
∴点 P 在运动过程中，PF 的长度不变，值为√2/2.