《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

6. (2024·齐齐哈尔)如图，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象经过平行四边形 $ ABCO $ 的顶点 $ A $，$ OC $ 在 $ x $ 轴上. 若点 $ B(-1,3) $，$ S_{□ ABCO} = 3 $，则实数 $ k $ 的值为 -6.

答案： -6

7. (2024·滁州天长市一模)如图，点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 图象的一支上，点 $ B $ 在反比例函数 $ y = -\frac{k}{2x} $ 图象的一支上，点 $ C $，$ D $ 在 $ x $ 轴上. 若四边形 $ ABCD $ 是面积为 $ 9 $ 的正方形，则实数 $ k $ 的值为 -6.

答案： -6

8. 将一张半透明的矩形纸片 $ ABCD $ 在平面直角坐标系中按如图所示的位置摆放，其中点 $ B $，$ C $ 在 $ x $ 轴的负半轴上，且 $ AD = 3 $，$ AB = 8 $. 双曲线 $ L:y = \frac{k}{x}(x ＜ 0,k ＜ 0) $ 分别与边 $ AB $，$ DC $ 交于点 $ F $，$ E $，连接 $ AE $，在矩形纸片 $ ABCD $ 沿着 $ x $ 轴左右平移的过程中，当点 $ E $ 恰好为 $ DC $ 的中点时，有 $ AF - AE = 2 $，则双曲线 $ L $ 的表达式为 $y=-\frac{4}{x}(x＜0)$.

答案： $y=-\frac{4}{x}(x＜0)$

9. 如图，$ P_1 $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 在第一象限图象上的一点，点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2,0) $. 若 $ \triangle P_1OA_1 $ 与 $ \triangle P_2A_1A_2 $ 均为等边三角形，则点 $ A_2 $ 的坐标为 $(2\sqrt{2},0)$.

答案： $(2\sqrt{2},0)$

10. (2024·深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ AOCB $ 为菱形，$ \tan \angle AOC = \frac{4}{3} $，且点 $ A $ 落在反比例函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ B $ 落在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $ 的图象上，则 $ k = $ 8.

答案： 8

11. (2023·合肥瑶海区一模)如图，$ Rt \triangle BOC $ 的一条直角边 $ OC $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 过 $ \triangle BOC $ 斜边 $ OB $ 的中点 $ A $，与另一直角边 $ BC $ 相交于点 $ D $. 若 $ \triangle BOD $ 的面积是 $ 6 $，则 $ k $ 的值是 4.

答案： 4

12. (2024·合肥肥东县一检)如图，点 $ A $ 在函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ B $，$ C $ 在函数 $ y = \frac{12}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，且 $ AB // x $ 轴，$ AC = BC $，则 $ \triangle ABC $ 的面积为 $\frac{27}{10}$.

答案： $\frac{27}{10}$

13. (沪科 9 上 P61 复习题 B 组 T8 变式)如图，已知反比例函数 $ y_1 = \frac{1}{x} $，$ y_2 = \frac{4}{x} $ 在第一象限的图象，过图象 $ y_2 $ 上的任意一点 $ A $ 作 $ x $ 轴的平行线，交图象 $ y_1 $ 于点 $ B $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线，交图象 $ y_1 $ 于点 $ D $，交 $ x $ 轴于点 $ E $，连接 $ BD $，$ CE $，则 $ \frac{BD}{CE} = $ $\frac{3}{4}$.
【变式素材】上述条件下判断线段 $ BD $ 与 $ CE $ 的位置关系，并说明理由.

答案： 1. 首先设点$A$的坐标：
设$A(a,\frac{4}{a})$（$a\gt0$）。
因为$BC// x$轴，$AD// y$轴，点$B$在$y = \frac{1}{x}$上，$y_{B}=y_{A}=\frac{4}{a}$，把$y=\frac{4}{a}$代入$y = \frac{1}{x}$，得$\frac{4}{a}=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{a}{4}$，所以$B(\frac{a}{4},\frac{4}{a})$；点$D$在$y = \frac{1}{x}$上，$x_{D}=x_{A}=a$，把$x = a$代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{a}$，所以$D(a,\frac{1}{a})$。
又$C(0,\frac{4}{a})$，$E(a,0)$。
2. 然后根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$：
计算$BD$的长度：
$BD=\sqrt{(a-\frac{a}{4})^2+(\frac{1}{a}-\frac{4}{a})^2}=\sqrt{(\frac{3a}{4})^2+(-\frac{3}{a})^2}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{16}+\frac{9}{a^{2}}}$。
计算$CE$的长度：
$CE=\sqrt{(a - 0)^2+(0-\frac{4}{a})^2}=\sqrt{a^{2}+\frac{16}{a^{2}}}$。
另一种方法（利用向量法）：
向量$\overrightarrow{BD}=(a-\frac{a}{4},\frac{1}{a}-\frac{4}{a})=(\frac{3a}{4},-\frac{3}{a})$，向量$\overrightarrow{CE}=(a - 0,0 - \frac{4}{a})=(a,-\frac{4}{a})$。
若两向量$\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$，当$\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{v}$（$\lambda$为常数）时，$\overrightarrow{u}//\overrightarrow{v}$。
设$\overrightarrow{BD}=\lambda\overrightarrow{CE}$，则$\frac{3a}{4}=\lambda a$，$-\frac{3}{a}=-\lambda\frac{4}{a}$。
由$\frac{3a}{4}=\lambda a$（$a\gt0$），解得$\lambda=\frac{3}{4}$；由$-\frac{3}{a}=-\lambda\frac{4}{a}$（$a\gt0$），也解得$\lambda=\frac{3}{4}$。
所以$BD// CE$。