《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$AB$，$CD$的延长线上，且$BE = DF$，连接$EF$与$AC$交于点$M$，连接$AF$，$CE$. 求证：$\triangle AEM≌\triangle CFM$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC．
∴∠AEM=∠CFM．
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF．在△AEM和△CFM中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AME=∠CMF,\\ ∠AEM=∠CFM,\\ AE=CF,\end{array}\right. $
∴△AEM≌△CFM(AAS)．

2. 如图，已知点$D$在$\triangle ABC$的边$AB$上，$DE$交$AC$于点$E$，$\angle ADE = \angle B$，点$F$在$AD$上，且$AD^{2} = AF\cdot AB$. 求证：
(1)$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$；
(2)$\triangle AEF\backsim\triangle ACD$.

答案： 证明：
(1)
∵∠ADE=∠B，
∴DE//BC．
∴$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$．
(2)
∵$AD^{2}=AF\cdot AB$，
∴$\frac {AD}{AB}=\frac {AF}{AD}$．由
(1)得，$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$，
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {AF}{AD}$．又
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD．