《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

（2023·武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB = 2∠BAC。
（1）求证：∠AOB = 2∠BOC；
（2）若AB = 4，BC = $\sqrt{5}$，求⊙O的半径。

答案： 变式 解:
(1)证明:
∵∠BOC=2∠BAC,∠ACB=2∠BAC,
∴∠BOC=∠ACB.又
∵∠AOB=2∠ACB,
∴∠AOB=2∠BOC.
(2)过点 O 作半径 OD⊥AB 于点 E,连接 BD,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2,$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$.
∴∠AOD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB.由
(1)知∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB,
∴∠BOD=∠BOC.
∴BD=BC=$\sqrt{5}$.在 Rt△BDE 中,∠DEB=90°,
∴DE=$\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$=1.在 Rt△BOE 中,∠OEB=90°,OB²=(OB-1)²+2²,解得 OB=$\frac{5}{2}$.
∴⊙O 的半径是$\frac{5}{2}$.

1. (2024·淮南凤台县二模)如图，一个零刻度落在点A的量角器(半圆O)的直径为AB，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边BQ与半圆交于点C，直角边BP与半圆交于点D。若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为(D)

A.58°
B.71°
C.103°
D.116°

答案： D

2. (2024·合肥庐阳区寿春中学三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP。若∠B = 150°，则∠APC的度数不可能为(A)

A.25°
B.35°
C.45°
D.55°

答案： A

3. (2019·安徽T13·5分)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB = 30°，∠CBA = 45°，CD⊥AB于点D。若⊙O的半径为2，则CD的长为$\sqrt{2}$。

答案： $\sqrt{2}$

4. （2024·安徽T20·10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA = FE。
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM = OE = 1，求AC的长。

答案： 4.解:
(1)证明:
∵FA=FE,
∴∠FAE=∠AEF.
∵$\widehat{BF}$=$\widehat{BF}$,
∴∠FAE=∠BCE.
∵∠AEF=∠CEB,
∴∠CEB=∠BCE.
∵CE 平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°.
∴∠CDE=90°.
∴CD⊥AB.
(2)由
(1)知,∠BEC=∠BCE,
∴BE=BC.
∵AF=EF,FM⊥AB,
∴MA=ME=2,AE=4.
∴圆的半径 OA=OB=AE-OE=3.
∴BC=BE=OB-OE=2.在△ABC 中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=$\sqrt{6^{2}-2^{2}}$=4$\sqrt{2}$.