《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. (2023·安徽 T22 改编)如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $M$ 是斜边 $AB$ 的中点, 将线段 $MA$ 绕点 $M$ 旋转至 $MD$ 的位置, 点 $D$ 在直线 $AB$ 外, 点 $E$ 在边 $AC$ 上, 且满足 $ME\perp AD$, $DE// AB$.

(1) 求 $\angle ADB$ 的度数;
(2) 求证: 四边形 $EAMD$ 为菱形.
第(1)问拆解: 如果三角形一边上的中线等于这一边的一半, 那么这个三角形是直角三角形.
(教材溯源·北师 9 上 P14T4)如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $D$ 是 $AC$ 的中点, 且 $BD = AD = CD$. 求证: $\angle ABC = 90^{\circ}$.

第(2)问拆解: 特殊四边形的性质与判定综合.
(教材溯源·北师 9 上 P19T3)已知: 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, $D$ 为 $BC$ 的中点, 四边形 $ABDE$ 是平行四边形. 求证: 四边形 $ADCE$ 是矩形.

答案： 例2 解：
(1)
∵M是AB的中点，
∴MA=MB，由旋转的性质，得MA=MD=MB，
∴∠MAD=∠MDA，∠MDB=∠MBD.
∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD=180°，
∴∠ADB=∠MDA+∠MDB=90°.
(2)证明：
∵∠ADB=90°，
∴AD⊥BD.
∵ME⊥AD，
∴ME//BD.
∵ED//BM，
∴四边形EMBD是平行四边形.
∴DE=BM=AM.
∵DE//AM，
∴四边形EAMD是平行四边形.
∵MA=MD，
∴平行四边形EAMD是菱形.
第
(1)问拆解：证法一：整体思想(过程见左栏).证法二：辅助圆.
∵BD=AD=CD，
∴点B在以点D为圆心，AC为直径的圆上.
∴∠ABC=90°(直径所对的圆周角等于90°).
第
(2)问拆解：证明：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE//BC，AB=DE，AE=BD.
∵D为BC的中点，
∴CD=BD.
∴CD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC，
∴AC=DE.
∴平行四边形ADCE是矩形.

1. (2021·安徽 T8·4 分)如图, 在菱形 $ABCD$ 中, $AB = 2$, $\angle A = 120^{\circ}$, 过菱形 $ABCD$ 的对称中心 $O$ 分别作边 $AB$, $BC$ 的垂线, 交各边于点 $E$, $F$, $G$, $H$, 则四边形 $EFGH$ 的周长为(A)

A.$3+\sqrt{3}$
B.$2 + 2\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$1 + 2\sqrt{3}$

答案： A

2. 如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $□ BCDE$ 的顶点 $E$ 在边 $AB$ 上, 连接 $CE$, $AD$. 添加下列一个条件, 则可以使四边形 $ADCE$ 成为菱形的是(C)

A.$CE\perp AB$
B.$CD\perp AD$
C.$CD = CE$
D.$AC = DE$

答案： C