《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

8. (2023·江西改编)将含$30^{\circ}$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知$\angle\alpha=60^{\circ}$，点$B$，$C$表示的刻度分别为$1\ cm$，$3\ cm$，则线段$AB$的长为2$cm$.

答案： 2

9. (人教8上P93复习题T11变式)如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$D$，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$，$CA$上一点，且$AD=BE=CF$，则$\triangle DEF$的形状是等边三角形.

答案： 等边三角形

10. (沪科8上P140习题T10变式)如图，$\triangle ABC$为等边三角形，$AE=CD$，$AD$，$BE$相交于点$P$，$BQ\perp AD$于点$Q$，$PQ=3$，$PE=1$.
(1)求证：$AD=BE$；
(2)求$AD$的长.
]

答案： 解:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=CA=BC,∠BAE=∠ACD=60°.在△ABE和△CAD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CA,\\ ∠BAE=∠ACD,\\ AE=CD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴AD=BE.
(2)
∵△ABE≌△CAD,
∴∠CAD=∠ABE.
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAE=60°.
∵BQ⊥AD,
∴∠AQB=90°.
∴∠PBQ=90°-60°=30°.
∴在Rt△BPQ中,BP=2PQ=6.
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7.

典例精讲·稳拿基础111分
例 (北师8下P125T8原题)如图，$\triangle ABC$是边长为2的等边三角形，将$\triangle ABC$沿直线$BC$平移到$\triangle DCE$的位置上，连接$BD$，求$\triangle ABC$平移的距离和$BD$的长.

答案： 解:
∵△DCE由等边三角形ABC平移得到,AB=BC=AC=2,
∴△ABC平移的距离为2.
∴CD=CB=CE=2.
∴∠CBD=∠CDB,∠E=∠CDE.又
∵∠CBD+∠CDB+∠E+∠CDE=180°,
∴∠CDB+∠CDE=90°,即∠BDE=90°.
∴△BED是直角三角形.
∵BE=BC+CE=4,DE=2,
∴BD=$\sqrt{BE^2-DE^2}$=2$\sqrt{3}$.