《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. 如图，已知 $ AB = AC = AD $，点 $ B $ 和点 $ C $ 为定点，请画出点 $ D $ 的运动轨迹。
【思维引导】定点（圆心）为点 $ A $，定长（半径）为线段 $ AB $（或 $ AC $ 或 $ AD $）的长，画出点 $ D $ 的运动轨迹。

答案： 1.解:图略.

2. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ E $ 是边 $ AB $ 的中点，动点 $ F $ 沿 $ A \to D \to C $ 方向运动至 $ DC $ 的中点处停止，将 $ \triangle AEF $ 沿 $ EF $ 所在直线折叠得到 $ \triangle A'EF $，请在图中画出点 $ A' $ 的运动轨迹。

答案： 解：
因为$E$是定点，$EA = EA'$（折叠性质），所以点$A'$的运动轨迹是以$E$为圆心，$EA$长为半径的一段圆弧。
当$F$在$A$点时，$A'$与$A$重合；当$F$运动到$DC$中点时，确定此时$A'$的位置，连接这两个特殊位置并以$E$为圆心，$EA$为半径画弧，得到点$A'$的运动轨迹。
（由于无法直接画图，你可以根据上述描述，用圆规以$E$为圆心，$EA$长为半径，在矩形$ABCD$内部，从$A$点开始，画到$F$在$DC$中点时$A'$对应的位置，画出这段圆弧即可）。

3. 如图，$ E $ 是正方形 $ ABCD $ 内部一点，且保持 $ \angle AEB = 90^{\circ} $，请画出点 $ E $ 的运动轨迹。
【思维引导】定弦为 $ AB $，定角为 $ \angle AEB $，画出点 $ E $ 的运动轨迹。

（1）如图 1，当 $ \angle ACB = 90^{\circ} $ 时，点 $ C $ 的轨迹为以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $（不包含 $ A $，$ B $ 两点）；
（2）如图 2，当 $ \angle ACB $ 为锐角，点 $ C $ 的运动轨迹为 $ \overset{\frown}{ADB} $（不包含 $ A $，$ B $ 两点）；
（3）如图 3，当 $ \angle ACB ＞ 90^{\circ} $ 时，点 $ C $ 的运动轨迹为 $ \overset{\frown}{AB} $（不包含 $ A $，$ B $ 两点）。

答案： 解：因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，定弦为$AB$，根据圆的性质：直径所对的圆周角是$90^{\circ}$。
所以点$E$的运动轨迹是以$AB$为直径的圆（不包含$A$，$B$两点）。
故答案为：以$AB$为直径的圆（不包含$A$，$B$两点）。

4. 如图，请在矩形 $ ABCD $ 的边上画出使 $ \angle APB = 30^{\circ} $ 的所有点 $ P $。

答案： 1. 首先，根据圆周角定理：
圆周角定理：同弧所对的圆周角$\angle ACB$是圆心角$\angle AOB$的一半，即$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$。已知$\angle APB = 30^{\circ}$，则圆心角$\angle AOB = 60^{\circ}$。
以$AB$为弦，作圆心角$\angle AOB = 60^{\circ}$的圆（分别在$AB$的两侧作圆）。
2. 然后，确定圆与矩形$ABCD$边的交点：
设$AB$的中点为$O$。
以$AB$为弦，在矩形$ABCD$内和外分别作圆心角$\angle AOB = 60^{\circ}$的弧（根据圆周角定理$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$，当$\angle APB = 30^{\circ}$时）。
分别以$A$，$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧相交于点$M$，$N$，作$\triangle ABM$和$\triangle ABN$的外接圆。
圆与矩形$ABCD$的边$AD$、$BC$（或$CD$，具体取决于矩形的边长关系）的交点就是满足$\angle APB = 30^{\circ}$的点$P$。
具体画法：
步骤一：作$AB$的垂直平分线，交$AB$于点$O$。
步骤二：以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧；再以$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧相交于点$E$（在$AB$上方）和$F$（在$AB$下方）。
步骤三：以$O$为圆心，$OA$（或$OB$）为半径作圆$\odot O$。在$AB$上方作圆心角$\angle AOB = 60^{\circ}$（用量角器），得到弧$\overset{\frown}{AB_1}$；在$AB$下方作圆心角$\angle AOB=- 60^{\circ}$（或$300^{\circ}$），得到弧$\overset{\frown}{AB_2}$。
步骤四：弧$\overset{\frown}{AB_1}$与矩形$ABCD$的边（若矩形$ABCD$中$AD$和$BC$足够长）的交点$P_1$，弧$\overset{\frown}{AB_2}$与矩形$ABCD$的边（若矩形$ABCD$中$AD$和$BC$足够长）的交点$P_2$等（根据矩形边长确定交点个数，若$AB$较长，可能在$AD$，$BC$上有$4$个交点；若$AB$较短，可能在$AD$，$BC$上有$2$个交点）就是所求的点$P$。
（注：如果矩形$ABCD$中$AB$与$AD$（$BC$）的长度关系不同，圆与矩形边的交点情况不同。假设$AB$长度适中，以$AB$为弦，在矩形内作圆心角$60^{\circ}$的弧与$AD$，$BC$相交于两点$P_1$，$P_2$；在矩形外作圆心角$60^{\circ}$（相对$AB$另一侧）的弧与$AD$，$BC$的延长线相交，但只取在矩形边上的点）。
一般情况下（不考虑矩形边长极端情况）：
以$AB$为弦，在矩形$ABCD$内作弧$\overset{\frown}{AB}$（圆心角$60^{\circ}$），与$AD$、$BC$交于$P_1$、$P_2$；在矩形$ABCD$外（相对于矩形内部弧的另一侧）作弧$\overset{\frown}{AB}$（圆心角$60^{\circ}$），与$AD$、$BC$交于$P_3$、$P_4$（如果边足够长）。
所以，满足条件的点$P$是：以$AB$为弦，作圆心角为$60^{\circ}$的弧与矩形$ABCD$边$AD$、$BC$（根据矩形边长确定）的交点。（具体图形需用圆规和直尺根据上述步骤画出）。