《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

3.（2023·亳州三模）如图 1，在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\angle BAD=\angle CAE$，$\angle ABD=\angle ACE$。
（1）①求证：$\triangle ABC\backsim \triangle ADE$；
②若$AB=AC$，试判断$\triangle ADE$的形状，并说明理由；
（2）如图 2，旋转$\triangle ADE$，使点$D$落在边$BC$上。若$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，求证：$CE\perp BC$。

答案： 3. 解：
(1)①证明：
∵∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE.
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}$.
∴$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}$.
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.
∴△ABC∽△ADE. ②△ADE是等腰三角形，理由如下：
∵$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}$，AB=AC，
∴AD=AE.
∴△ADE是等腰三角形.
(2)证明：由
(1)可知△BAC∽△DAE.
∴$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}$.
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}$.
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
∴△BAD∽△CAE.
∴∠B=∠ACE.
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°.
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°.
∴CE⊥BC.