《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

变式2
（2019·安徽T20·10分）【一题多解】如图，点$E$在$□ ABCD$内部，$AF // BE$，$DF // CE$。
(1) 求证：$\triangle BCE \cong \triangle ADF$；
(2) 设$□ ABCD$的面积为$S$，四边形$AEDF$的面积为$T$，求$\frac{S}{T}$的值。

答案： 变式 2 解:
(1)法 1:证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD= BC,AD//BC.
∴∠ABC+∠BAD=∠EBA+∠CBE+∠BAD= 180°.
∵AF//BE,
∴∠EBA+∠BAF=∠EBA+∠BAD+∠DAF= 180°.
∴∠CBE=∠DAF.同理可得,∠BCE=∠ADF.在△BCE 和 △ADF 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CBE=∠DAF,\\ BC=AD,\\ ∠BCE=∠ADF,\end{array}\right. $
∴△BCE≌△ADF(ASA).法 2:证明:延长 FA,与 CB 的延长线交于点 M.
∵在□ABCD 中,AD//BC,
∴∠FAD=∠M.又
∵AF//BE,
∴∠M=∠EBC.
∴∠FAD= ∠EBC.同理可得,∠FDA=∠ECB.在△BCE 和△ADF 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EBC=∠FAD,\\ BC=AD,\\ ∠ECB=∠FDA,\end{array}\right. $
∴△BCE≌△ADF(ASA).
(2)法 1:
∵点 E 在 □ABCD 内部,$\therefore S_{△BEC}+S_{△AED}=\frac {1}{2}S_{□ ABCD}$.由
(1)知,$△BCE\cong $ $△ADF,\therefore S_{△BCE}=S_{△ADF}.\therefore S_{四边形AEDF}=S_{△ADF}+S_{△AED}=S_{△BEC}+S_{△AED}$ $=\frac {1}{2}S_{□ ABCD}$.
∵□ABCD 的面积为 S,四边形 AEDF 的面积为 T,$\therefore \frac {S}{T}=\frac {S}{\frac {1}{2}S}=2$.法 2:连接 EF.由
(1)知,$△BCE\cong △ADF,\therefore AF=BE,$ $S_{△BCE}=S_{△ADF}$.又
∵AF//BE,
∴四边形 ABEF 为平行四边形.
∴ $S_{△AEF}=S_{△AEB}$.同理可得,$S_{△DCE}=S_{△DEF}$
∵$T=S_{△AEF}+S_{△DEF},\therefore T=$ $S_{△AEB}+S_{△DEC}$
∵$T=S_{△AED}+S_{△ADF}=S_{△AED}+S_{△BCE},\therefore S=S_{△AEB}+$ $S_{△DEC}+S_{△AED}+S_{△BCE}=2T.\therefore \frac {S}{T}=2$.法 3:由
(1)知,$△BCE\cong $ $△ADF.\therefore T=S_{△AED}+S_{△ADF}=S_{△AED}+S_{△BCE}$.过点 E 作 EG⊥BC 于点 G,延长 GE 交 AD 于点 H,则 EH⊥AD.$\therefore T=S_{△AED}+S_{△BCE}=$ $\frac {1}{2}BC\cdot (EG+EH)=\frac {1}{2}BC\cdot GH=\frac {1}{2}S.\therefore \frac {S}{T}=2.$