《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

7. （2022·安徽 T20·10 分）如图，为了测量河对岸 $ A $，$ B $ 两点间的距离，某数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 $ C $，测得 $ A $，$ B $ 均在 $ C $ 的北偏东 $ 37^{\circ} $ 方向上，沿正东方向行走 $ 90 $ 米至观测点 $ D $，测得 $ A $ 在 $ D $ 的正北方向，$ B $ 在 $ D $ 的北偏西 $ 53^{\circ} $ 方向上. 求 $ A $，$ B $ 两点间的距离.（参考数据：$ \sin 37^{\circ} \approx 0.60 $，$ \cos 37^{\circ} \approx 0.80 $，$ \tan 37^{\circ} \approx 0.75 $）

答案： 7.解：根据题意，得$CE// AD$，$\angle ECA=37^{\circ}$，$\angle ADB=53^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle ECA=37^{\circ}$.$\therefore\angle CBD=\angle A+\angle ADB=37^{\circ}+53^{\circ}=90^{\circ}$.$\therefore\angle ABD=90^{\circ}$.在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BDC=90^{\circ}-53^{\circ}=37^{\circ}$，$CD=90$米，$\cos\angle BDC=\frac{BD}{CD}$，$\therefore BD=CD\cdot\cos37^{\circ}\approx90×0.80=72$（米）.在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A=37^{\circ}$，$BD=72$米，$\tan A=\frac{BD}{AB}$，$\therefore AB=\frac{BD}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{72}{0.75}=96$（米）.答：A，B两点间的距离约96米.

8. （沪科9上 P129 练习 T1 变式）如图，长 $ 500 m $ 的水库大坝的横断面为四边形 $ ABCD $，其中 $ BC // AD $，坝顶宽 $ 3 m $，坝高 $ 4\sqrt{3} m $，斜坡 $ AB $ 的坡比 $ i_{1} = 1:2 $，斜坡 $ CD $ 的坡比 $ i_{2} = 1:3 $. 求坝底宽 $ AD $ 的长.

答案： 8.解：作$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，则$BE=CF=4\sqrt{3}\ m$，$BC=EF=3\ m$，$\because$斜坡AB的坡比$i_{1}=1:2$，斜坡CD的坡比$i_{2}=1:3$，$\therefore\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$.$\therefore AE=2BE=8\sqrt{3}\ m$，$DF=3CF=12\sqrt{3}\ m$.$\therefore AD=AE+EF+DF=8\sqrt{3}+3+12\sqrt{3}=(20\sqrt{3}+3)\ m$.答：坝底宽AD的长为$(20\sqrt{3}+3)\ m$.

9. （2021·安徽 T17·8 分）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件. 零件的截面如图中阴影部分所示，已知四边形 $ AEFD $ 为矩形，点 $ B $，$ C $ 分别在 $ EF $，$ DF $ 上，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ \angle BAD = 53^{\circ} $，$ AB = 10 cm $，$ BC = 6 cm $. 求零件的截面面积.（参考数据：$ \sin 53^{\circ} \approx 0.80 $，$ \cos 53^{\circ} \approx 0.60 $）

答案： 9.解：$\because$四边形AEFD为矩形，$\angle BAD=53^{\circ}$，$\therefore AD// EF$，$\angle E=\angle F=90^{\circ}$.$\therefore\angle BAD=\angle EBA=53^{\circ}$.在$Rt\triangle ABE$中，$\angle E=90^{\circ}$，$AB=10\ cm$，$\angle EBA=53^{\circ}$，$\therefore\sin\angle EBA=\frac{AE}{AB}\approx0.80$，$\cos\angle EBA=\frac{BE}{AB}\approx0.60$.$\therefore AE=8\ cm$，$BE=6\ cm$.$\because\angle ABC=90^{\circ}$，$\therefore\angle FBC=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle EBA=37^{\circ}$.$\therefore\angle BCF=90^{\circ}-\angle FBC=53^{\circ}$.在$Rt\triangle BCF$中，$\angle F=90^{\circ}$，$BC=6\ cm$，$\therefore\sin\angle BCF=\frac{BF}{BC}\approx0.80$，$\cos\angle BCF=\frac{FC}{BC}\approx0.60$.$\therefore BF=4.8\ cm$，$FC=3.6\ cm$.$\therefore EF=6+4.8=10.8(cm)$.$\therefore S_{矩形EFDA}=AE\cdot EF=8×10.8=86.4(cm^{2})$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AE\cdot BE=\frac{1}{2}×8×6=24(cm^{2})$，$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}BF\cdot CF=\frac{1}{2}×4.8×3.6=8.64(cm^{2})$.$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{矩形EFDA}-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BCF}=86.4-24-8.64=53.76(cm^{2})$.答：零件的截面面积为53.76$cm^{2}$.