《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

变式（2022·安徽T19·10分）已知 $ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ C $ 为 $ \odot O $ 上一点，$ D $ 为 $ BA $ 的延长线上一点，连接 $ CD $。
(1) 如图1，若 $ CO \perp AB $，$ \angle D = 30^{\circ} $，$ OA = 1 $，求 $ AD $ 的长；
(2) 如图2，若 $ DC $ 与 $ \odot O $ 相切，$ E $ 为 $ OA $ 上一点，且 $ \angle ACD = \angle ACE $。求证：$ CE \perp AB $。

答案：
(1)$\because OA=OC=1$，$CO⊥AB$，$∠D=30^{\circ }$，$\therefore OD=\sqrt {3}OC=\sqrt {3}$．$\therefore AD=OD-OA=\sqrt {3}-1$．
(2)证明：
∵DC 与$\odot O$相切，$\therefore ∠OCD=90^{\circ }$，即$∠ACD+∠OCA=90^{\circ }$．$\because OA=OC$，$\therefore ∠OCA=∠OAC$．$\because ∠ACD=∠ACE$，$\therefore ∠OAC+∠ACE=90^{\circ }$．$\therefore ∠AEC=90^{\circ }$，即$CE⊥AB$．

1. (2024·蚌埠二模)如图，$ \odot O $ 与 $ AB $ 相切于点 $ B $，连接 $ AO $ 交 $ \odot O $ 于点 $ E $，过点 $ B $ 作 $ BF // OA $ 交 $ \odot O $ 于点 $ F $，连接 $ EF $。若 $ \angle A = 40^{\circ} $，则 $ \angle OEF $ 的度数为25°。

答案： 25°

2. 如图，$ OA $ 是 $ \odot O $ 的半径，$ BC $ 是 $ \odot O $ 的弦，$ OA \perp BC $ 于点 $ D $，$ AE $ 是 $ \odot O $ 的切线，$ AE $ 交 $ OC $ 的延长线于点 $ E $。若 $ \angle AOC = 45^{\circ} $，$ BC = 2 $，则线段 $ AE $ 的长为$\sqrt{2}$。

答案： $\sqrt{2}$

3. 如图，$ PA $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ A $，$ PO $ 交 $ \odot O $ 于点 $ B $，点 $ C $ 在 $ PA $ 上，且 $ CB = CA $。若 $ OA = 5 $，$ PA = 12 $，则 $ CA $ 的长为$\frac{10}{3}$。

答案： $\frac{10}{3}$

4. （2020·安徽T20·10分）如图，$ AB $ 是半圆 $ O $ 的直径，$ C $，$ D $ 是半圆 $ O $ 上不同于 $ A $，$ B $ 的两点，$ AD = BC $，$ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ F $。$ BE $ 是半圆 $ O $ 所在圆的切线，与 $ AC $ 的延长线相交于点 $ E $。
(1) 求证：$ \triangle CBA \cong \triangle DAB $；
(2) 若 $ BE = BF $，求证：$ AC $ 平分 $ \angle DAB $。

【拓展】在(2)的条件下，若 $ BC = 6 $，求 $ \odot O $ 的半径。

答案： 证明：
(1)
∵AB 是半圆 O 的直径，$\therefore ∠ACB=∠ADB=90^{\circ }$．在$Rt△CBA$和$Rt△DAB$中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AD,\\ BA=AB,\end{array}\right. \therefore Rt△CBA\cong Rt△DAB(HL)$．
(2)$\because BE=BF$，$BC⊥EF$，$\therefore ∠E=∠BFE$．
∵BE 是半圆 O 所在圆的切线，$\therefore ∠ABE=90^{\circ }$．$\therefore ∠E+∠BAE=90^{\circ }$．由
(1)知，$∠D=90^{\circ }$，$\therefore ∠DAF+∠AFD=90^{\circ }$．$\because ∠AFD=∠BFE$，$\therefore ∠AFD=∠E$．$\because ∠DAF=90^{\circ }-∠AFD$，$∠BAF=90^{\circ }-∠E$，$\therefore ∠DAF=∠BAF$．$\therefore AC$平分$∠DAB$．【拓展】解：由
(2)知，$∠DAF=∠BAF$，$\therefore \widehat {DC}=\widehat {CB}$．$\because BC=AD$，$\therefore \widehat {BC}=\widehat {AD}$．$\therefore \widehat {BC}=\widehat {AD}=\widehat {DC}$．$\therefore ∠CAB=30^{\circ }$．$\therefore AB=2BC=12$．$\therefore OB=6$，即$\odot O$的半径为 6．