《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

11. （2015·安徽T15·8分）先化简，再求值：$(\frac{a^{2}}{a - 1} + \frac{1}{1 - a})\cdot\frac{1}{a}$，其中$a = -\frac{1}{2}$。

答案： 11.解:原式=$(\frac{a^{2}}{a-1}-\frac{1}{a-1})\cdot \frac{1}{a}=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}\cdot \frac{1}{a}=\frac{a+1}{a}$.当$a=-\frac{1}{2}$时,原式=-1.

12. （2023·安徽T15·8分）先化简，再求值：$\frac{x^{2} + 2x + 1}{x + 1}$，其中$x = \sqrt{2} - 1$。

答案： 12.解:原式=$\frac{(x+1)^{2}}{x+1}=x+1$.当$x=\sqrt{2}-1$时,原式=$\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$.

命题点5 规律问题(7年7考)
13. (2023·安徽T18·8分)【观察思考】

【规律发现】
请用含$n$的式子填空：
(1)第$n$个图案中“$◯$”的个数为3n；
(2)第$1$个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$；第$2$个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$；第$3$个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$；第$4$个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$……第$n$个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{n(n+1)}{2}$；
【规律应用】
(3)结合图案中“$\bigstar$”的排列方式及上述规律，求正整数$n$，使得连续的正整数之和$1 + 2 + 3 + \cdots + n$是第$n$个图案中“$◯$”的个数的$2$倍。

答案： 13.解:
(1)$3n$
(2)$\frac{n(n+1)}{2}$
(3)根据题意,得$\frac{n(n+1)}{2}=2× 3n$,解得$n=11$或$n=0$(不符合题意,舍去).$\therefore n$的值为11.

14. （2024·安徽·T18·8分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数$N$能否表示为$x^{2} - y^{2}$（$x$，$y$均为自然数）”的问题。
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（$n$为正整数）：

按上表规律，解答下列问题：
（ⅰ）$24 = ($____$)^{2} - ($____$)^{2}$；
（ⅱ）$4n =$$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$。
（2）兴趣小组还猜测：像$2$，$6$，$10$，$14$，$\cdots$这些形如$4n - 2$（$n$为正整数）的正整数$N$不能表示为$x^{2} - y^{2}$（$x$，$y$均为自然数）。
师生一起研讨，分析过程如下：
|假设$4n - 2 = x^{2} - y^{2}$，其中$x$，$y$均为自然数。分下列三种情形分析：|
|--|
|①若$x$，$y$均为偶数，设$x = 2k$，$y = 2m$，其中$k$，$m$均为自然数。则$x^{2} - y^{2} = (2k)^{2} - (2m)^{2} = 4(k^{2} - m^{2})$为$4$的倍数。而$4n - 2$不是$4$的倍数，矛盾。故$x$，$y$不可能均为偶数。|
|②若$x$，$y$均为奇数，设$x = 2k + 1$，$y = 2m + 1$，其中$k$，$m$均为自然数。则$x^{2} - y^{2} = (2k + 1)^{2} - (2m + 1)^{2} =$$4(k^{2}-m^{2}+k-m)$为$4$的倍数。而$4n - 2$不是$4$的倍数，矛盾。故$x$，$y$不可能均为奇数。|
|③若$x$，$y$一个是奇数一个是偶数，则$x^{2} - y^{2}$为奇数。而$4n - 2$是偶数，矛盾。故$x$，$y$不可能一个是奇数一个是偶数。|
|由①②③可知，猜测正确。|
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。

答案： 14.
(1)7 5 $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$
(2)$4(k^{2}-m^{2}+k-m)$