《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

2. (2023·芜湖无为市模拟)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，与弦BC交于点F，连接BD.
(1)求证：DB=DE；
(2)若DF=3，AF=5，求AE的长.

答案：
(1)证明:连接BE,
∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠DAC.
∵$\widehat{CD}=\widehat{CD}$,
∴∠CAD=∠CBD.
∴∠BAD=∠DBC.
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠ABE+∠BAD=∠DEB.
∴DE=DB.
(2)
∵∠DBC=∠DAB,∠D=∠D,
∴△DBF∽△DAB.
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{DF}{DB}$.
∴DB²=AD·DF.
∵DF=3,AF=5,
∴AD=DF+AF=8.
∴DB=$\sqrt{AD·DF}=2\sqrt{6}$.
∴DE=DB=2$\sqrt{6}$.
∴AE=AD-DE=8-2$\sqrt{6}$.

3. (2024·马鞍山七中二模)如图，AB为⊙O的直径，在BA的延长线上取一点C，CD与⊙O相切于点D，AE//CD交⊙O于点E，且∠BAE=30°，连接DE，BE.
(1)求证：四边形ACDE为平行四边形；
(2)已知F为⌢{AB}的中点，连接EF.若CD=2√{3}，求EF的长.

答案：
(1)证明:连接OD.
∵CD与⊙O相切于点D,
∴∠CDO=90°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠AEB=∠CDO.
∵∠BAE=30°,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB.
∴BE=OD.
∵AE//CD,
∴∠BAE=∠C.
∴△OCD≌△BAE(AAS).
∴CD=AE.
∴四边形ACDE为平行四边形.
(2)连接OF,BF,过点B作BH⊥EF于点H.由
(1)知AE=CD=2$\sqrt{3}$.
∵∠BAE=30°,
∴BE=AE·tan∠BAE=2,AB=2BE=4.
∴OB=OF=$\frac{1}{2}$AB=2.
∵F为$\widehat{AB}$的中点,
∴∠BOF=∠AOF=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴BF=$\sqrt{OB^2+OF^2}=2\sqrt{2}$.
∵∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BOF=45°,BH⊥EF,
∴BH=BE·sin∠BEF=$\sqrt{2}$,EH=BE·cos∠BEF=$\sqrt{2}$.
∵∠BFE=∠BAE=30°,
∴FH=$\frac{BH}{\tan∠BFE}=\sqrt{6}$.
∴EF=EH+FH=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$.