《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

典例精讲·稳拿基础111分
例1
（2016·安徽T20·10分）如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象分别与反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 的图象在第一象限交于点 $ A(4, 3) $，与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $，且 $ OA = OB $。
（1）求函数 $ y = kx + b $ 和 $ y = \frac{a}{x} $ 的解析式；

（2）【一题多解】已知点 $ C(0, 5) $，试在该一次函数的图象上确定一点 $ M $，使得 $ MB = MC $，求此时点 $ M $ 的坐标。

答案： 解:
(1)把点A(4,3)代入y=a/x,得a=3×4=12,
∴y=12/x.由勾股定理,得OA=√(3²+4²)=5,
∵OA=OB,
∴OB=5.
∴B(0,-5).把B(0,-5),A(4,3)代入y=kx+b,得{b=-5,4k+b=3,解得{k=2,b=-5,
∴y=2x-5.
(2)方法一:
∵点M在直线y=2x-5上,
∴设点M的坐标为(x,2x-5).
∵MB=MC,
∴√(x²+(2x-5+5)²)=√(x²+(2x-5-5)²),解得x=2.5.
∴点M的坐标为(2.5,0).方法二:
∵MB=MC,
∴点M在BC的垂直平分线上.
∵B(0,-5),C(0,5),
∴BC的垂直平分线为x轴.当y=0时,2x-5=0,解得x=2.5.
∴点M的坐标为(2.5,0).