《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. (沪科8上P152复习题B组T6变式)(1)如图1，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，过点$O$作$EF// BC$，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$.$EF$与$BE$，$CF$之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，若在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$的平分线与$\triangle ABC$的外角$\angle ACG$的平分线相交于点$O$，过点$O$作$OE// BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，请问(1)中$EF$与$BE$，$CF$之间的关系是否还存在？若存在，请说明理由；若不存在，写出三者之间新的数量关系，并说明理由.

[拓展设问] 如图3，在$\triangle ABC$中，点$E$，$F$分别为$AB$，$AC$延长线上的点，且$EF// BC$.若$\triangle ABC$的外角$\angle EBC$，$\angle FCB$的平分线相交于点$O$，请直接写出$EF$，$BE$，$CF$，$MN$之间的数量关系，不需证明.

答案： 解:
(1)EF=BE+CF,理由如下:
∵BO是∠ABC的平分线,
∴∠EOB=∠CBO.
∵EF//BC,
∴∠CBO=∠EOB.
∴∠EOB=∠EOB.
∴BE=OE.同理可得,CF=OF.
∴EF=OE+OF=BE+CF.
(2)不存在.EF=BE-CF,理由如下:
∵BO是∠ABC的平分线.
∴∠ABO=∠CBO.
∵EF//BC,
∴∠CBO=∠EOB.
∴∠ABO=∠EOB.
∴OE=BE.同理可得,CF=OF.
∴EF=OE-OF=BE-CF.【拓展设问】 解:EF=BE+MN+CF.

2. 如图，已知$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，连接$BD$，$CE$，若$BD\perp AD$，回答下列问题.
(1)求$\angle CED$的度数；
(2)延长$ED$交$BC$于点$F$，求证：$BF=CF$.

答案： 解:
(1)
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°.
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠ADB=∠AEC.
∵BD⊥AD,
∴∠AEC=∠ADB=90°.又
∵∠AED=60°,
∴∠CED=30°.
(2)证明:过点C作CH//BD,交EF的延长线于点H,则∠H=∠BDF.由
(1)知,∠AEC=∠ADB=90°,∠ADE=∠AED=60°,∠CEH=30°,
∴∠BDF=180°-∠ADB-∠ADE=180°-90°-60°=30°.
∴∠BDF=∠CEH.
∴∠H=∠CEH.
∴CH=CE.
∵△ABD≌△ACE,
∴BD=CE.
∴BD=CH.又
∵∠BFD=∠CFH,∠BDF=∠H,
∴△BDF≌△CHF(AAS).
∴BF=CF.