《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$M$ 为 $BC$ 的中点，$MN\perp AC$ 于点 $N$，则 $MN$ 的长为$\frac{12}{5}$.

答案： $\frac{12}{5}$

7. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为边 $AB$ 上的一点，连接 $DE$，$CE$，$F$ 为 $CE$ 的中点，且 $DE = DC$. 求证：$AF\perp BF$.

答案： 证明:连接DF.
∵DE=DC,F为CE的中点,
∴DF⊥EC.
∴∠DFC=90°.在矩形ABCD中,AB=DC,AB//DC,∠ABC=90°,
∴∠DCE=∠CEB,BF=CF=EF=$\frac{1}{2}$EC.
∴∠ABF=∠CEB.
∴∠ABF=∠DCF.在△ABF和△DCF中,$\left\{\begin{array}{l} BF=CF,\\ ∠ABF=∠DCF,\\ AB=DC,\end{array}\right.$
∴△ABF≌△DCF(SAS).
∴∠AFB=∠DFC=90°.
∴AF⊥BF.

8. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是边 $BC$ 上的中线，$E$ 是 $AD$ 上一点，连接 $BE$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$，$AF = EF$. 求证：$AC = BE$.

答案： 证明:(方法一)延长AD到点G,使DG=AD,连接BG.
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD.在△GDB和△ADC中,$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ ∠BDG=∠CDA,\\ GD=AD,\end{array}\right.$
∴△GDB≌△ADC(SAS).
∴AC=GB,∠G=∠EAF.
∵AF=EF,
∴∠EAF=∠AEF.
∵∠AEF=∠BED,
∴∠G=∠BED.
∴BE=BG.
∴AC=BE.(方法二)延长ED到点G,使得DG=DE,连接CG……过程略.