《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

变式1
(2015·安徽T21·12分)如图，已知反比例函数 $ y = \frac{k_1}{x} $ 与一次函数 $ y = k_2x + b $ 的图象交于点 $ A(1, 8) $，$ B(-4, m) $。
(1)求 $ k_1 $，$ k_2 $ 和 $ b $ 的值；
(2)求 $ \triangle AOB $ 的面积；
(3)若 $ M(x_1, y_1) $，$ N(x_2, y_2) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k_1}{x} $ 图象上的两点，且 $ x_1 ＜ x_2 $，$ y_1 ＜ y_2 $，指出点 $ M $，$ N $ 各位于哪个象限，并简要说明理由。

【拓展设问】
若点 $ P(s, t) $ 为 $ y = \frac{k_1}{x} $ 在第三象限中图象上一点，$ S_{\triangle OCP} ＜ S_{\triangle OCB} $，则点 $ P $ 的横坐标的取值范围是-4＜s＜0。

答案： 解:
(1)
∵y=k₁/x与y=k₂x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m),
∴k₁=1×8=8.
∴y=8/x.
∴-4m=8,解得m=-2.
∴B(-4,-2).{8=k₂+b,-2=-4k₂+b,解得{k₂=2,b=6.
(2)设一次函数y=2x+6的图象与y轴交于点C,则C(0,6).
∴S△AOB=S△COB+S△AOC=1/2×6×4+1/2×6×1=15.
(3)
∵反比例函数y=8/x的图象位于第一、三象限,
∴在每个象限内,y随x的增大而减小.
∵x₁＜x₂,y₁＜y₂,
∴点M,N在不同的象限.
∴M(x₁,y₁)在第三象限,N(x₂,y₂)在第一象限.
拓展设问 -4＜s＜0

例2
(2022·安徽T13·5分)如图，$ □ OABC $ 的顶点 $ O $ 是坐标原点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，点 $ B $，$ C $ 在第一象限，反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象经过点 $ C $，$ y = \frac{k}{x} $($ k \neq 0 $)的图象经过点 $ B $。若 $ OC = AC $，则 $ k = $3。

答案： 3

变式点1 平行四边形→等腰三角形
变式2
如图，已知等腰直角三角形 $ OAB $ 的顶点 $ O $ 是坐标原点，$ \angle OAB = 90° $，点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，点 $ A $ 在第一象限，反比例函数 $ y_1 = \frac{4}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象经过点 $ A $，反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象经过 $ OA $ 的中点 $ C $，则 $ k = $1。

答案： 1

变式点2 函数图象位于一个象限→函数图象位于两个象限
变式3
(沪科9上P48练习T3变式)如图，面积为 10 的 $ □ ABCD $ 的边 $ CD $ 在 $ x $ 轴上，反比例函数 $ y = -\frac{4}{x} $($ x ＜ 0 $)和 $ y = \frac{k}{x} $($ k ＞ 0 $，$ x ＞ 0 $)的图象分别过平行四边形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $ 和顶点 $ B $，则 $ k $ 的值为6。

答案： 6