《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

例3
(一题多解)(2023·安徽T14·5分)如图，$ O $ 是坐标原点，$ Rt \triangle OAB $ 的直角顶点 $ A $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，$ AB = 2 $，$ \angle AOB = 30° $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k ＞ 0 $，$ x ＞ 0 $)的图象经过斜边 $ OB $ 的中点 $ C $。

(1)$ k = $√3；
(2)$ D $ 为该反比例函数图象上的一点，若 $ DB // AC $，则 $ OB^2 - BD^2 $ 的值为4。
第(2)小问分步拆解

解法一(几何法)：
① 构造特殊三角形：由 $ DB // AC $ 可得 $ \angle ABD = 60° $，如图，作 $ DE \perp AB $，则 $ DE = $√3$ BE $；
② 设参建立方程：设点 $ D $ 的坐标为 $ (n, \frac{\sqrt{3}}{n}) $，则点 $ E $ 的坐标为(2√3,√3/n)，$ BE = $2-√3/n，$ DE = $n-2√3，得到方程n-2√3=√3(2-√3/n)；
③ 求值代入：对方程进行化简后代入即可得到答案。
解法二(代数法)：
① 求直线解析式：由中点坐标公式可得点 $ C $ 的坐标为(√3,1)，则 $ AC $ 的解析式为y=-√3/3x+2，由 $ AC // BD $，$ AB = 2 $，得到直线 $ BD $ 的解析式为y=-√3/3x+4；
② 联立方程求交点坐标：联立反比例函数与直线 $ BD $ 的解析式即可求得点 $ D $ 的坐标，利用两点间距离公式即可求得 $ OB^2 - BD^2 $ 的值。

答案：
(1)√3
(2)4 解法一:①√3 ②(2√3,√3/n) 2-√3/n n-2√3 n-2√3=√3(2-√3/n) 解法二:①(√3,1) y=-√3/3x+2 y=-√3/3x+4

变式点 三角形→正方形
变式4
(2024·合肥一模)如图，直线 $ y = x + 2 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴相交于点 $ C $，$ B $，与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k \neq 0 $)的图象在第一象限内相交于点 $ A $，且 $ AB = BC $。
(1)$ k = $8；
(2)在 $ y $ 轴的正半轴上取点 $ D $，作 $ DE // x $ 轴交反比例函数的图象于点 $ E $，以 $ DE $ 为边向上作正方形 $ DEFG $。若该反比例函数的图象恰好经过 $ GF $ 的中点 $ Q $，则 $ DB $ 的长为2√2-2。

答案：
(1)8
(2)2√2-2