《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

4. 如图，点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且 $\angle APB=\angle APC$，$\angle APB+\angle BAC = 180^{\circ}$。
（1）求证：$\triangle PAB\sim\triangle PCA$；
（2）若 $\angle APB = 120^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，求 $\frac{PC}{PB}$ 的值。
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答案： 解:
(1)证明:
∵∠ABP+∠BAP+∠APB=180°,∠APB+∠BAC+∠CAP=180°,
∴∠ABP+∠BAP=∠BAC+∠CAP.又
∵∠APB=∠APC,
∴△PAB∽△PCA.
(2)
∵∠ABP+∠BAC=180°,∠APB=120°,
∴∠BAC=60°.在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,
∴AB=$\frac{1}{2}$AC.又
∵△PAB∽△PCA,
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{PB}{PA}·\frac{PA}{PC}=\frac{1}{4}$,即$\frac{PC}{PB}=4$.

5. （2024·滁州天长市模拟）如图1，$C$ 为线段 $BE$ 上一点，分别以 $BC,EC$ 为底，在 $BE$ 的同侧作等腰三角形 $ABC$ 和等腰三角形 $DCE$，且 $\angle ABC=\angle DCE$，在线段 $AC$ 上取一点 $F$，使得 $AF = DC$，连接 $BF,AD$。
（1）求证：$\triangle ABF\cong\triangle CAD$；
（2）如图2，延长 $BF$ 交 $AD$ 于点 $G$。若 $G$ 是 $AD$ 的中点，且 $AB = 2$，求 $CD$ 的长。

答案： 解:
(1)证明:
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
∴AB=AC.
∵∠ABC=∠DCE,
∴AB//CD.
∴∠BAF=∠ACD.在△ABF和△CAD中,$\left\{\begin{array}{l}AB=CA,\\ ∠BAF=∠ACD,\\ AF=CD,\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CAD(SAS).
(2)过点G作GH//CD,交AC于点H.
∵G是AD的中点,
∴GH是△ACD的中位线.
∴GH=$\frac{1}{2}$CD,AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=1.
∵AB//CD,GH//CD,
∴GH//AB.
∴△FGH∽△FBA.
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{FH}{AF}$.
∵△ABF≌△CAD,
∴AF=CD.
∵AF+FH=AH=1,
∴FH=AH - AF=1 - CD.
∴$\frac{\frac{1}{2}CD}{2}=\frac{1 - CD}{CD}$,解得CD=-2+2$\sqrt{2}$(负值舍去).
∴CD的长为$2\sqrt{2}-2$.