《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

6. 【安徽核心考法】【一题多解】如图，在$Rt\triangle ABC$中，延长斜边$BC$到点$D$，使$CD = \frac{1}{2}BC$，连接$AD$。若$\tan B = \frac{5}{3}$，求$\tan \angle CAD$的值。

答案： 解:法1:作CF//AB交AD于点F,则∠ACF=90°.
∵CD=$\frac{1}{2}BC$,
∴CD=$\frac{1}{3}BD$.
∴CF=$\frac{1}{3}AB$.在Rt△ABC中,tanB=$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$,
∴AC=$\frac{5}{3}AB=\frac{5}{3}× 3CF=5CF$.
∴tan∠CAD=$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{5}$.法2:作CE//AD交AB于点E.在Rt△ABC中,tanB=$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$.设AC=5k,AB=3k,则BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{34}k$.
∵CD=$\frac{1}{2}BC$,
∴CD=$\frac{\sqrt{34}}{2}k$.
∵CE//AD,
∴∠CAD=∠ACE,$\frac{BE}{BA}=\frac{BC}{BD}=\frac{2}{3}$.
∴BE=2k.
∴AE=k.
∴tan∠CAD=tan∠ACE=$\frac{AE}{AC}=\frac{k}{5k}=\frac{1}{5}$.

7. 【2021·安徽 T23(3)核心考法】如图，平行四边形$ABCD$的边长$AD = 3$，$AB = 2$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，$F$在边$BC$上，且$BF = 2FC$，$AF$与$DE$交于点$G$，求$AG$的长。

答案： 解:延长DE交CB的延长线于点H.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD=3,AD//BC.
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=180° - ∠BAD = 180° - 120° = 60°.
∵BF=2FC,
∴BF=2,FC=1.
∵AB=2,
∴BF=AB.
∴△ABF为等边三角形.
∴AF=AB=2.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE.
∵∠ADE=∠H,∠AED=∠BEH,
∴△ADE≌△BHE(AAS).
∴BH=AD=3.
∵AD//FH,
∴△ADG∽△FHG.
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AD}{FH}=\frac{3}{5}$.
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{8}$.
∴AG=$\frac{3}{8}× 2=\frac{3}{4}$.