《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

4. (2024·德阳)如图，一次函数 $ y = -2x + 2 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象相交于点 $ A(-1,m) $.
(1) 求 $ m $ 的值和反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的解析式；
(2) 将直线 $ y = -2x + 2 $ 向下平移 $ h $ 个单位长度 $ (h ＞ 0) $ 后得到直线 $ y = ax + b $，若直线 $ y = ax + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 图象的交点坐标为 $ B(n,2) $，求 $ h $ 的值，并结合图象求不等式 $ \frac{k}{x} ＜ ax + b $ 的解集.

答案： 4.解:
(1)
∵点$A(-1,m)$在一次函数$y=-2x + 2$的图象上,$\therefore m=-2×(-1)+2=4.\therefore A(-1,4)$.
∵点A在反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象上,$\therefore k=-1×4=-4$.
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac {4}{x}(x＜0)$.
(2)
∵点$B(n,2)$在反比例函数$y=-\frac {4}{x}$的图象上,$\therefore 2=-\frac {4}{n}$,解得$n=-2.\therefore B(-2,2)$.将直线$y=-2x + 2$向下平移h个单位长度得到的直线解析式为$y=-2x + 2 - h$.
∵点$B(-2,2)$在直线$y=-2x + 2 - h$上,$\therefore 2=-2×(-2)+2 - h$,解得$h=4$.根据函数图象及交点坐标可知,不等式$\frac {k}{x}＜ax + b$的解集为$x＜-2.$

5. (2023·芜湖一模)如图，一次函数 $ y_1 = kx + b(k \neq 0) $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象相交于 $ A(4,1) $，$ B(\frac{1}{2},a) $ 两点.
(1) 求这两个函数的解析式；
(2) 根据图象直接写出满足 $ y_1 - y_2 ＞ 0 $ 时 $ x $ 的取值范围；
(3) 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线，垂足为 $ M $，交反比例函数 $ y_2 $ 的图象于点 $ Q $. 若 $ \triangle POQ $ 的面积为 $ 3 $，求点 $ P $ 的坐标.

答案： 5.解:
(1)
∵反比例函数$y_{2}=\frac {m}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(4,1),\therefore 1=\frac {m}{4}.\therefore m=4$.
∴反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac {4}{x}(x＞0)$.把$B(\frac {1}{2},a)$代入$y_{2}=\frac {4}{x}$,得$a=8$.
∴点B的坐标为$(\frac {1}{2},8)$.
∵一次函数$y_{1}=kx + b$的图象经过点$A(4,1),B(\frac {1}{2},8),\therefore \left\{\begin{array}{l} 4k + b=1,\\ \frac {1}{2}k + b=8,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=9.\end{array}\right. $
∴一次函数的解析式为$y_{1}=-2x + 9$.
(2)根据图象可知,$\frac {1}{2}＜x＜4$.
(3)由题意,设$P(p,-2p + 9)$,其中$\frac {1}{2}≤p≤4$.
∴$Q(p,\frac {4}{p}).\therefore PQ=-2p + 9 - \frac {4}{p}.\therefore S_{\triangle POQ}=\frac {1}{2}(-2p + 9 - \frac {4}{p})\cdot p=3$,解得$p_{1}=\frac {5}{2},p_{2}=2$.
∴点P的坐标为$(\frac {5}{2},4)$或$(2,5).$