《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

5. 如图，对折矩形纸片$ABCD$，使$AD$与$BC$重合，折痕为$EF$；再一次对折纸片，使$EF$与$BC$重合，折痕为$GH$；把纸片展平，$MN$也为折痕；$P$为线段$AD$上一点，再次沿$BP$折叠矩形纸片，使点$A$落在原矩形所在平面的点$Q$处。
(1) 如图 1，若点$Q$在线段$EF$上，延长$PQ$交$BC$于点$W$，求证：$\triangle BPW$为等边三角形；
(2) 如图 2，若点$Q$在线段$GH$上，求$\tan \angle ABP$的值。

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=90°,AD//BC.
∴∠APB=∠PBW.
∵△PBQ由△APB折叠得到,
∴△ABP≌△QBP.
∴∠APB=∠QPB,∠PQB=∠A=90°.
∴∠PBW=∠QPB.
∴BW=PW.由题意可知,AD//EF//BC,AE=BE,
∴$\frac{PQ}{QW}=\frac{AE}{BE}=1$.
∴PQ=QW.又
∵BQ=BQ,∠PQB=∠WQB=90°,
∴△PBQ≌△WBQ(SAS).
∴BP=BW.
∴BP=BW=PW.
∴△PBW是等边三角形.
(2)设BP交GH于点R,AB=4a,则BG=a.
∵△PBQ由△PBA折叠得到,
∴△ABP≌△QBP.
∴AP=PQ,∠APB=∠QPB,BQ=AB=4a.
∵BG=a,
∴GQ=$\sqrt{BQ^{2}-BG^{2}}=\sqrt{15}a$.
∵GQ//AP,
∴∠APB=∠PRG,△ABP∽△GBR.
∴$\frac{PQ}{RQ}=\frac{GR}{AP}=\frac{BG}{AB}=\frac{1}{4}$.
∴RQ=AP.
∵$\frac{GR}{RQ}=\frac{1}{4}$,
∴AP=RQ=$\frac{4\sqrt{15}}{5}a$.
∴tan∠ABP=$\frac{AP}{AB}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{5}a}{4a}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.