《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

4.（2024·安徽 T22·12 分）如图 1，$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$交于点$O$，点$M$，$N$分别在边$AD$，$BC$上，且$AM = CN$. $E$，$F$分别是$BD$与$AN$，$CM$的交点.
(1)求证：$OE = OF$；
(2)连接$BM$交$AC$于点$H$，连接$HE$，$HF$.
①如图 2，若$HE// AB$，求证：$HF// AD$；
②如图 3，若$□ ABCD$为菱形，且$MD = 2AM$，$\angle EHF = 60^{\circ}$，求$\dfrac{AC}{BD}$的值.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC．
∴AM//CN．
∵AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
∴AN//CM．
∴∠OAE=∠OCF．在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠OAE=∠OCF,\\ OA=OC,\\ ∠AOE=∠COF,\end{array}\right. $
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE=OF．
(2)①证明：
∵HE//AB，
∴$\frac {OH}{OA}=\frac {OE}{OB}$．
∵OB=OD，OE=OF，
∴$\frac {OH}{OA}=\frac {OF}{OD}$．
∵∠HOF=∠AOD，
∴△HOF∽△AOD．
∴∠OHF=∠OAD．
∴HF//AD．②
∵□ABCD为菱形，
∴AC⊥BD．
∵OE=OF，∠EHF=60°，
∴∠EHO=∠FHO=30°．
∴OH=$\sqrt {3}OE$．
∵AM//BC，MD=2AM，
∴$\frac {AH}{HC}=\frac {AM}{BC}=\frac {1}{3}$，即HC=3AH．
∴OA+OH=3(OA-OH)．
∴OA=2OH．
∵BN//AD，MD=2AM，AM=CN，
∴$\frac {BE}{ED}=\frac {BN}{AD}=\frac {2}{3}$，即3BE=2ED．
∴3(OB-OE)=2(OB+OE)．
∴OB=5OE．
∴$\frac {AC}{BD}=\frac {OA}{OB}=\frac {2OH}{5OE}=\frac {2\sqrt {3}}{5}$．