《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

2. 【安徽核心考法】【一题多解】在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，$D$是$AB$延长线上一点，$E$是$AC$上一点，$DE$交$BC$于点$F$。若$BD = CE$，求证：$DF = EF$。

答案：
证明:法1:作EG//AB交BC于点G,则∠CGE=∠ABC,∠GEF=∠D,∠DBF=∠EGF.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∴∠C=∠EGC.
∴CE=GE.
∵CE=BD,
∴BD=GE.在△DBF和△EGF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠D=∠GEF,\\ BD=GE,\\ ∠DBF=∠EGF,\end{array}\right.$
∴△DBF≌△EGF(ASA).
∴DF=EF.
法2:提示:过点D作DG//AC,交CB的延长线于点G.
法3:提示:过点E作EG//BC,交AB于点G.
法4:提示:过点D作DG//BC,交AC的延长线于点G.

3. 如图，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\triangle ABC$外有一点$P$，$\angle APB = 45^{\circ}$，连接$PC$。求$PA$，$PB$，$PC$之间的数量关系。

答案： 解:过点A作AH⊥AP,交BP于点H.
∵∠APB=45°,
∴△AHP是等腰直角三角形,PH=$\sqrt{2}PA$.
∴AH=AP.
∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB=AC,∠BAC=∠HAP=90°.
∴∠BAH=∠CAP.在△ABH和△ACP中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAH=∠CAP,\\ AH=AP,\end{array}\right.$
∴△ABH≌△ACP(SAS).
∴PC=BH.
∴PB - BH = PB - PC = $\sqrt{2}PA$.

4. 【2023·安徽 T23(2)核心考法】如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$BD$平分$\angle ABC$，$CE \perp BD$于点$E$。求证：$CE = \frac{1}{2}BD$。

答案： 证明:延长BA,CE相交于点F.
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠CDE+∠ACF=90°,∠ADB=∠CDE,
∴∠ABD=∠ACF.在△ABD和△ACF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠ACF,\\ AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAF,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF(ASA).
∴BD=CF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
∵CE⊥BD,
∴∠BEF=∠BEC=90°.
∵BE=BE,
∴△FBE≌△CBE(ASA).
∴EF=EC.
∴CF=2CE.
∴BD=2CE.
∴CE=$\frac{1}{2}BD$.