《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1.（沪科八上 P150T12 题改编）如图，在$\triangle ABC$中，以$AB$，$AC$为边，分别向外作等边三角形$ABD$，$ACE$，连接$BE$，$DC$。
（1）求证：$\triangle ABE\cong \triangle ADC$；
（2）若$\angle ABC=30^{\circ}$，$AB=6$，$BC=7$，求$BE$的长。

答案： 1. 解：
(1)证明：
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE. 在△ABE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAE=∠DAC,\\ AE=AC,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ADC(SAS).
(2)
∵△ABD为等边三角形，
∴∠DBA=60°，BD=AB=6. 又
∵∠ABC=30°，
∴∠DBC=∠DBA+∠ABC=90°. 在Rt△BDC中，CD=$\sqrt {BD^{2}+BC^{2}}=\sqrt {36+49}=\sqrt {85}$. 由
(1)得△ABE≌△ADC，
∴BE=DC=$\sqrt {85}$.

2. 如图，$\triangle ABC$是边长为 5 的等边三角形，$D$为$\triangle ABC$外一点，且$BD=CD$，$\angle BDC=120^{\circ}$。$E$，$F$分别在$AB$，$AC$上，且$\angle EDF=60^{\circ}$，求$\triangle AEF$的周长。

答案： 2. 解：延长AC至点P，使CP=BE，连接PD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°.
∴∠EBD=∠DCF=90°.
∴∠DCP=∠DBE=90°. 在△BDE和△CDP中，$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ ∠DBE=∠DCP,\\ BE=CP,\end{array}\right. $
∴△BDE≌△CDP(SAS).
∴DE=DP，∠BDE=∠CDP.
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°.
∴∠CDP+∠CDF=60°.
∴∠EDF=∠PDF=60°. 在△DEF和△DPF中，$\left\{\begin{array}{l} DE=DP,\\ ∠EDF=∠PDF,\\ DF=DF,\end{array}\right. $
∴△DEF≌△DPF(SAS).
∴EF=FP.
∴EF=FP=CF+CP=CF+BE.
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=10.