《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

4. (2024·合肥庐江县模拟)已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点(A，B两点除外，且在直径AB的同侧)，CE⊥AB于点E，F是CD的中点，连接EF.
(1)如图1，若CD//AB，求证：EF=r；
(2)如图2，若CD不平行于AB，r=5，求EF的最大值.

答案：
(1)证明:连接OF,OC.
∵CE⊥AB,
∴∠CEO=90°.
∵CD//AB,
∴∠ECD=180°-∠CEO=90°.
∵F是CD的中点,
∴OF⊥CD.
∴∠OFC=90°.
∴四边形OECF是矩形.
∴EF=OC=r.
(2)延长CE交⊙O于点G,连接DG.
∵AB是半径为r的⊙O的直径,AB⊥CG,
∴E是CG的中点.又
∵F是CD的中点,
∴EF=$\frac{1}{2}$DG.又
∵DG的最大值为2r=10,
∴EF的最大值是5.

5. (2024·安徽一模)如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD.点O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作⊙O与BC相切于点B，点D在圆上，延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长.

答案：
(1)证明:连接OD.
∵AO平分∠BAD,
∴∠BAO=∠DAO.
∵OA=OB,OA=OD,
∴∠BAO=∠ABO,∠ADO=∠DAO.
∴∠BOC=2∠BAO,∠DOC=2∠DAO.
∴∠BOC=∠DOC.
∵OB=OD,OC=OC,
∴△BOC≌△DOC(SAS).
∴∠OBC=∠ODC.
∵⊙O与BC相切于点B,
∴OB⊥BC.
∴∠OBC=90°.
∴∠ODC=90°,即OD⊥CD.又
∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)
∵OA=OD,AE=DE=8,
∴OE垂直平分AD,∠DAE=∠ADE.
∴∠AFE=90°.
∵∠ADE=∠ABE,
∴∠DAE=∠ABE.
∵∠BAO=∠DAO=∠ABO,
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE.
∵BE是⊙O的直径,
∴∠BAE=90°.
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE=30°.
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×8=4.
∴AF=$\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.