《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. 例 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4$\sqrt{2}$，点E为对角线AC上一动点，连接DE.过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：四边形DEFG是正方形；
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

答案： 解：
(1)证明：过点 E 分别作 EM⊥BC 于点 M，EN⊥CD 于点 N.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°.
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且 NE=NC.
∴四边形 EMCN 为正方形.
∴EM=EN，∠MEN=90°.
∵四边形 DEFG 是矩形，
∴∠DEF=90°.
∴∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°.
∴∠DEN=∠FEM. 在△DEN 和△FEM 中，{∠DNE=∠FME,EN=EM,∠DEN=∠FEM,
∴△DEN≌△FEM(ASA).
∴ED=EF.
∴矩形 DEFG 为正方形.
(2)CE+CG 的值为定值. 理由如下：
∵四边形 DEFG 为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°.
∴∠ADE=∠CDG. 在△ADE 和△CDG 中，{AD=CD,∠ADE=∠CDG,DE=DG,
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG.
∴CE+CG=CE+AE=AC=√2AB=√2×4√2=8.