《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

 变式1 【2021·安徽T22核心考法】如图，$\triangle ABC$和$\triangle DCE$都是等边三角形，点$B$，$C$，$E$在同一条直线上.若$CE=\frac{1}{2}BC$，$F$为$AC$的中点，连接$BF$，$EF$，$AD$，求证：四边形$ADEF$为平行四边形.

答案： 证明:
∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=DE,∠ACB=∠DEC=60°.
∴AC//DE.
∵F是AC的中点,
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC.
∵CE=$\frac{1}{2}$BC,
∴AF=CE.
∴AF=DE.又
∵AF//DE,
∴四边形ADEF为平行四边形.

 变式2 【2023·安徽T10核心考法】在一平面内，线段$BE=20$，点$C$在$BE$上运动，分别以$BC$，$CE$为边在线段$BE$同侧作等边三角形$ABC$和等边三角形$DCE$，$G$，$H$分别是$AC$，$DE$的中点，连接$GH$.求$GH$的最小值.
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答案： 解:连接BG并延长交直线ED于点F,连接CH,CF.
∵△ABC和△DEC都是等边三角形,
∴∠ACB=∠E=60°.
∴AC//DE.
∴∠ACH=∠CHE.
∵G,H分别是AC,DE的中点,
∴∠BGC=∠CHD=∠CHE=90°,∠EBF=30°.
∴∠CGF=∠CHD=∠ACH=90°.
∴四边形CGFH为矩形.
∴FC=GH.又
∵∠EBF=30°,BE=20,
∴BF=20·cos30°=10$\sqrt{3}$.
∴点F为定点.当FC⊥BE时,FC最小,即GH最小.在Rt△BEF中,EF=BE·cos60°=10.在Rt△CEF中,FC=EF·sin60°=5$\sqrt{3}$.
∴GH的最小值为5$\sqrt{3}$.