《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

1. (2024·兰州)如图，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 与一次函数 $ y = mx + 1 $ 的图象相交于点 $ A(2,3) $，点 $ B $ 是反比例函数图象上一点，$ BC \perp x $ 轴于点 $ C $，交一次函数的图象于点 $ D $，连接 $ AB $.
(1) 求反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 与一次函数 $ y = mx + 1 $ 的表达式；
(2) 当 $ OC = 4 $ 时，求 $ \triangle ABD $ 的面积.

答案： 1.解:
(1)
∵反比例函数$y=\frac {k}{x}(x＞0)$与一次函数$y=mx+1$的图象相交于点$A(2,3),\therefore \left\{\begin{array}{l} 3=\frac {k}{2},\\ 3=2m+1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=6,\\ m=1.\end{array}\right. $
∴一次函数的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}(x＞0)$.
(2)把$x=4$代入$y=x+1$,得$y=5,\therefore D(4,5)$.把$x=4$代入$y=\frac {6}{x}$,得$y=\frac {3}{2},\therefore B(4,\frac {3}{2}).\therefore BD=5-\frac {3}{2}=\frac {7}{2}.\therefore S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}×\frac {7}{2}×(4-2)=\frac {7}{2}.$

2. (2023·合肥模拟)如图，正比例函数 $ y = -\frac{2}{3}x $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象都经过点 $ A(a,2) $.
(1) 求点 $ A $ 的坐标和反比例函数的表达式；
(2) 若点 $ P(m,n) $ 在该反比例函数的图象上，且它到 $ y $ 轴的距离小于 $ 3 $，请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围.

答案： 2.解:
(1)把$A(a,2)$代入$y=-\frac {2}{3}x$,得$2=-\frac {2}{3}a$,解得$a=-3.\therefore A(-3,2)$.又
∵点$A(-3,2)$在反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象上,$\therefore k=-3×2=-6$.
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac {6}{x}$.
(2)$n＞2$或$n＜-2.$

3. (2024·河南)如图，矩形 $ ABCD $ 的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ E $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A $.
(1) 求这个反比例函数的表达式；
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点 $ A $ 的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3) 将矩形 $ ABCD $ 向左平移，当点 $ E $ 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 $\frac{9}{2}$.

答案： 3.解:
(1)
∵反比例函数$y=\frac {k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(3,2),\therefore 2=\frac {k}{3}$,解得$k=6$.
∴这个反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}(x＞0)$.
(2)图略.
(3)$\frac{9}{2}$