《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

3.（2024·眉山改编）如图，菱形$ABCD$的边长为$6$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，过点$D$作$DE\perp BC$，交$BC$的延长线于点$E$，连接$AE$分别交$BD$，$CD$于点$F$，$G$，求$FG$的长.

答案： 解：
∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，
∴AD=BC=CD=6，AD//BC，∠BCD=120°．
∴∠DCE=60°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°．在Rt△DCE中，
∵∠CDE=90°-∠DCE=30°，
∴CE=$\frac {1}{2}CD=3$．
∴DE=$\sqrt {3}CE=3\sqrt {3}$．BE=BC+CE=9．
∵AD//BE，
∴∠ADE=180°-∠DEC=90°．在Rt△ADE中，AE=$\sqrt {DE^{2}+AD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+6^{2}}=3\sqrt {7}$．
∵AD//BE，
∴△AFD∽△EFB．
∴$\frac {AF}{FE}=\frac {AD}{BE}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}$．
∴AF=$\frac {2}{5}AE=\frac {2}{5}×3\sqrt {7}=\frac {6\sqrt {7}}{5}$．
∵AD//CE，
∴△AGD∽△EGC．
∴$\frac {AG}{EG}=\frac {AD}{CE}=\frac {6}{3}=2$．
∴AG=$\frac {2}{3}AE=\frac {2}{3}×3\sqrt {7}=2\sqrt {7}$．
∴FG=AG-AF=$2\sqrt {7}-\frac {6\sqrt {7}}{5}=\frac {4\sqrt {7}}{5}$．

在两个 8 字型相似中，如果所求线段是两个 8 字型相似线段的一部分，可以把所求线段转化为已有 8 字型相似对应线段的和或差.
如：已知$\triangle ADF\backsim\triangle EBF$，相似比为$2:3$，$\triangle ADG\backsim\triangle ECG$，相似比为$2:1$，求$FG$与$AE$的比值.

答案： $\because \triangle ADG \backsim \triangle ECG$，相似比为 $2:1$，
$\therefore$ 设 $AG = 2a, GE = a$，则 $AE = 3a$。
$\because \triangle ADF \backsim \triangle EBF$，相似比为 $2:3$，
$\therefore \frac{AF}{EF} = \frac{2}{3}$，
$\therefore AF = \frac{2}{5}AE = \frac{2}{5} × 3a = \frac{6a}{5}$。
$\therefore FG = AG - AF = 2a - \frac{6a}{5} = \frac{4a}{5}$。
$\therefore \frac{FG}{AE} = \frac{\frac{4a}{5}}{3a} = \frac{4}{15}$。