《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

3.（2018·安徽 T19·10 分）为了测量竖直旗杆$AB$的高度，某综合实践小组在地面$D$处竖直放置标杆$CD$，并在地面上水平放置一个平面镜$E$，使得$B$，$E$，$D$在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的点$F$处通过平面镜$E$恰好观测到旗杆顶$A$（此时$∠AEB = ∠FED$），在点$F$处测得旗杆顶$A$的仰角为$39.3^{\circ}$，平面镜$E$的俯角为$45^{\circ}$，$FD = 1.8$米，旗杆$AB$的高度约为多少米？（结果保留整数.参考数据：$\tan39.3^{\circ}≈0.82$，$\tan84.3^{\circ}≈10.02$）

答案： 3.解:根据题意,得∠FED=∠DFE=45°.在Rt△DEF中,
∵∠FDE=90°,∠EFD=45°,
∴DE=DF=1.8米,EF=√2DE=9√25米.
∵∠AEB=∠FED=45°,
∴∠AEF=180°-∠AEB-∠FED=90°.在Rt△AEF中,
∵∠AEF=90°,∠AFE=39.3°+45°=84.3°,
∴AE=EF·tan∠AFE≈9√25×10.02=4509√2250(米).在Rt△ABE中,
∵∠ABE=90°,∠AEB=45°,
∴AB=AE·sin∠AEB≈4509√2250×√22≈18(米).
答:旗杆AB的高度约为18米.

4.（2019·安徽 T19·10 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心$O$为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦$AB$长为 6 米，$∠OAB = 41.3^{\circ}$.若点$C$为运行轨道的最高点（$C$，$O$的连线垂直于$AB$），求点$C$到弦$AB$所在直线的距离.（参考数据：$\sin41.3^{\circ}≈0.66$，$\cos41.3^{\circ}≈0.75$，$\tan41.3^{\circ}≈0.88$）

答案： 4.解:连接CO并延长,与AB交于点D,根据题意,得CD⊥AB,
∴AD=BD=12AB=3米.在Rt△AOD中,∠OAD=41.3°,
∴OA=ADcos41.3°≈30.75=4(米),OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64(米).则CD=CO+OD=4+2.64=6.64(米).
答:点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

5.（2024·合肥行知学校模拟）如图所示的是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角$\alpha$满足$50^{\circ}≤\alpha≤75^{\circ}$时，人在爬梯子时才会安全.已知梯子$AB$长为 6m.
（1）在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到 0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面 2.4m 时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由.（参考数据：$\sin50^{\circ}≈0.77$，$\sin75^{\circ}≈0.97$，$\cos50^{\circ}≈0.64$，$\cos75^{\circ}≈0.26$）

答案： 5.解:
(1)由题意,得当α=75°时,梯子顶端距离地面的高度最大.在Rt△ABC中,AB=6m,∠BAC=75°,sin∠BAC=BCAB,
∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin75°≈5.8(m),
答:梯子顶端距离地面的最大高度约为5.8m.
(2)能,理由如下:当α=75°时,AC=AB·cos75°≈6×0.26=1.56(m),当α=50°时,AC=AB·cos50°≈6×0.64=3.84(m),
∵1.56＜2.4＜3.84,
∴当梯子底端距离墙面2.4m时,人能够安全使用这个梯子.