《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

(2023·安徽T20·10分)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径.
(1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD=3√{3}，AE=3，求弦BC的长.

答案：
(1)证明:
∵OA⊥BD,
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$.
∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.
(2)延长AE交BC于点M,延长CE交AB于点N,
∵AE⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AMB=∠CNB=90°.
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∴∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB.
∴AD//NC,CD//AM.
∴四边形AECD是平行四边形.
∴AE=CD=3.
∴BC=$\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-3^2}=3\sqrt{2}$.

1. (2024·合肥一模)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是⌢{AC}的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，连接DA，DB，DB交AC于点G.
(1)求证：AF=DF；
(2)若AF=5，tan∠ABD=1/2，求⊙O的半径.

答案：
(1)证明:
∵D是$\widehat{AC}$的中点,
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$.
∵AB⊥DH,且AB是⊙O的直径,
∴$\widehat{AD}=\widehat{AH}$.
∴$\widehat{CD}=\widehat{AH}$.
∴∠ADH=∠CAD.
∴AF=DF.
(2)
∵DE⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴∠AED=∠ADB=90°.
∴∠ADE+∠DAB=90°,∠ABD+∠DAB=90°.
∴∠ADE=∠ABD.
∵tan∠ABD=$\frac{1}{2}$,
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$.设AE=x,则DE=2x.由
(1)知AF=DF=5,
∴EF=DE-DF=2x-5.在Rt△AFE中,AF²=AE²+EF²,
∴(2x-5)²+x²=5²,解得x=4或x=0(舍去).
∴AE=4,DE=8.
∵tan∠ABD=$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$,
∴BE=2DE=16.
∴AB=AE+BE=20.
∴⊙O的半径为10.