《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

8. (沪科9上P28习题T13变式)已知抛物线 $ y = -x^2 + 4x - 3 $。
(1)与已知抛物线关于 $ x $ 轴对称的抛物线所对应的函数解析式为$y = x^{2} - 4x + 3$；
(2)与已知抛物线关于 $ y $ 轴对称的抛物线所对应的函数解析式为$y = -x^{2} - 4x - 3$。

答案： 8.
(1) $y = x^{2} - 4x + 3$
(2) $y = -x^{2} - 4x - 3$

3. (2024·宣城模拟)抛物线 $ y = -2x^2 + 1 $ 通过变换可以得到抛物线 $ y = -2(x + 1)^2 + 3 $，以下变换过程正确的是(D)

A.先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
B.先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
C.先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
D.先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度

答案： D

4. (2024·蚌埠怀远县模拟)若抛物线 $ y = kx^2 - (k^2 - 3k)x + 1 $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，则 $ k $ 的值为(C)

A.$ 0 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ 3 $
D.$ -3 $

答案： C

5. 如图，已知抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A(1, 0) $ 和 $ B(-5, 0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，直线 $ y = -3x + 3 $ 过抛物线的顶点 $ P $。
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）若直线 $ x = m $（$ -5 ＜ m ＜ 0 $）与抛物线交于点 $ E $，与直线 $ BC $ 交于点 $ F $，当 $ EF $ 取得最大值时，求 $ m $ 的值和 $ EF $ 的最大值。

答案： （1）设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x+5)$，对称轴为$x=\frac{1+(-5)}{2}=-2$，顶点$P$横坐标为$-2$。将$x=-2$代入抛物线得$y=a(-3)(3)=-9a$，即$P(-2,-9a)$。
∵$P$在直线$y=-3x+3$上，
∴$-9a=-3(-2)+3=9$，解得$a=-1$。
∴抛物线解析式为$y=-(x-1)(x+5)=-x^2-4x+5$。
（2）令$x=0$，得$C(0,5)$。设直线$BC$解析式为$y=kx+b$，将$B(-5,0)$，$C(0,5)$代入得$\begin{cases}-5k+b=0\\b=5\end{cases}$，解得$k=1$，$b=5$，
∴$BC:y=x+5$。
直线$x=m$与抛物线交于$E(m,-m^2-4m+5)$，与$BC$交于$F(m,m+5)$。
$EF=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-m^2-5m$（$-5＜m＜0$时$-m^2-5m＞0$）。
$EF=-m^2-5m=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$，当$m=-\frac{5}{2}$时，$EF$最大值为$\frac{25}{4}$。
（1）$y=-x^2-4x+5$；（2）$m=-\frac{5}{2}$，$EF$最大值$\frac{25}{4}$。