《2025年名校课堂中考总复习数学安徽专版》

典例精讲·稳拿基础111分
(沪科8上P115复习题A组T10变式)如图，已知$AD$为$\triangle ABC$的中线，分别过点$B$，$C$作射线$AD$的垂线，垂足分别为$E$，$F$。
(1) 求证：$\triangle BED \cong \triangle CFD$；
(2) 若$\angle EAC = 45°$，$AF = 12$，$DC = 13$，求$EF$的长。

答案： 例 解：
(1)证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BED=∠CFD,\\ ∠EDB=∠FDC,\\ BD=CD,\end{array}\right. $
∴△BED≌△CFD(AAS).
(2)
∵△BED≌△CFD，
∴ED=FD.
∵∠EAC=45°，∠AFC=90°.
∴△AFC是等腰直角三角形.
∴AF=FC=12.在Rt△DFC中，DF=$\sqrt {DC^{2}-FC^{2}}$=5.
∴EF=2DF=10.

变式点1 $D$为$BC$的中点$\to D$为$BC$上任意一点
如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，$AB = AC$，$D$为$BC$上一点，连接$AD$。过点$B$作$BE \perp AD$于点$E$，过点$C$作$CF \perp AD$交$AD$的延长线于点$F$。若$BE = 4$，$CF = 1$，则$EF$的长为3。

答案： 3

变式点2 $BE \perp AD$，$CF \perp AD \to BE // CF$
如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的中线，$E$，$F$为直线$AD$上的点，连接$BE$，$CF$，且$BE // CF$。
(1) 求证：$\triangle BDE \cong \triangle CDF$；
(2) 若$AE = 13$，$AF = 7$，求$DE$的长。

答案： 变式2 解：
(1)证明：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD.
∵BE//CF，
∴∠DBE=∠DCF.在△BDE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠DBE=∠DCF,\\ BD=CD,\\ ∠BDE=∠CDF,\end{array}\right. $
∴△BDE≌△CDF(ASA).
(2)
∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6.
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF.
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3.