《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (12 分)如图 1，已知直线 $l_1:y = -x + 3$ 与坐标轴交于 $A$，$B$ 两点，直线 $l_2:y = \frac{1}{2}x + b$ 与直线 $l_1$ 相交于点 $D(\frac{10}{3},m)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。
(1) 求 $m$ 的值及 $l_2$ 的函数表达式。(4 分)
(2) 在 $x$ 轴负半轴上有一个点 $E$，当$\triangle BDE$的面积为$\frac{20}{3}$时，求点 $E$ 的坐标。(4 分)
(3) 如图 2，在(2)的条件下，连结$G$点 $E$ 与 $y$ 轴正半轴上的一个动点 $F(0,n)$，将线段 $EF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$，得到线段 $EG$。
① 点 $G$ 的坐标为(n-1,-1)(用含有 $n$ 的代数式表示)。(2 分)
② 在点 $F$ 运动的过程中，若线段 $EG$ 与$\triangle BCD$的边只有一个交点，直接写出 $n$ 的取值范围。(2 分)

答案： 24.
(1)解：当x=$\frac{10}{3}$时，y=$-\frac{10}{3}$+3=$-\frac{1}{3}$，所以m=$-\frac{1}{3}$。将点D的坐标代入l₂，得$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$+b=$-\frac{1}{3}$，b=-2，所以l₂：y=$\frac{1}{2}$x-2。
(2)解：设E(x,0)，B(0,3)，D($\frac{10}{3}$,$-\frac{1}{3}$)，A(3,0)，因为S△BDE=$\frac{1}{2}$AE·yB+$\frac{1}{2}$AE·(-yD)=$\frac{20}{3}$，所以AE=4，所以E(-1,0)。
(3)①(n-1,-1) ②解：1≤n＜3。