《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (12 分) 小明思考解决如下问题：
原题：如图，$\angle A = 36^{\circ}$，$B$，$C$ 分别是射线 $AN$，$AM$ 上的动点，以 $BC$ 为腰在 $\triangle ABC$ 的外侧作等腰 $\triangle BCD$，使 $\angle CBD = 108^{\circ}$，过点 $D$ 作 $DE \perp AN$ 于点 $E$，交射线 $AM$ 于点 $F$，过点 $D$ 作 $DG // AN$ 交 $AM$ 于点 $G$，探究线段 $AC$ 与 $GF$ 的数量关系。
小明与同桌讨论后，进行如下解答：
(1) 特殊情况，探索结论
① 如图 1，当点 $G$ 与点 $A$ 重合时，点 $D$ 与点 $E$ 重合，小明探索得 $GF = 2AC$，请你证明。(4 分)
② 如图 2，当点 $G$ 与点 $C$ 重合时，小明取 $GF$ 的中点 $H$，连结 $DH$，探究得到线段 $AC$ 与 $GF$ 的数量关系，请你完善小明的探究过程。(4 分)
(2) 特例启发，解答题目
解：如图 3，取 $GF$ 的中点 $H$，连结 $DH$（请完成后续解答过程）。(4 分)

答案：
24.解：
(1)①证明：在等腰$\triangle BCD$中，$\angle CBD = 108^{\circ}$，所以$\angle BDC = \angle BCD = 36^{\circ} = \angle A$。所以$AC = CD$。因为$DF\perp AN$，所以$\angle ADF = 90^{\circ}$。因为$\angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle AFD = \angle CDF = 54^{\circ}$。所以$CD = CF$。所以$GF=AC + CF = 2AC$。

②因为$DF\perp AN$，$CD//AN$，H是GF的中点，所以$DF\perp CD$，所以$GF = 2HD$，$CH = HD$。因为$CD//AN$，$CB = BD$，$\angle CBD = 108^{\circ}$，所以$\angle HCD = \angle A = \angle CDB = \angle DCB = \angle HDC = \angle CBA = 36^{\circ}$。又$CD = CD$，所以$\triangle CHD\cong\triangle CBD(ASA)$。所以$HD = BD = BC$。所以$AC = BC = HD$。所以$GF = 2AC$。
(2)$GF = 2AC$，理由如下：如图，在射线AM上取点Q，使$BA = BQ$，连结DQ。因为$BA = BQ$，$\angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle BQA = \angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle ABQ = 180^{\circ} - 2×36^{\circ} = 108^{\circ}$，所以$\angle ABQ - \angle CBQ = \angle CBD - \angle CBQ$，即$\angle ABC = \angle QBD$。因为$CB = BD$，所以$\triangle BAC\cong\triangle BQD(SAS)$。所以$AC = QD$，$\angle BQD = \angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle HQD = \angle AQB + \angle BQD = 72^{\circ}$。因为$GD//AN$，$DF\perp AN$，所以$\angle QGD = \angle A = 36^{\circ}$，$\angle GDF = \angle AEF = 90^{\circ}$。因为H是GF的中点，所以$GF = 2GH = 2HD$。所以$\angle HGD = \angle HDG = 36^{\circ}$，所以$\angle QHD = \angle HGD + \angle HDG = 72^{\circ}$。所以$\angle QHD = \angle HQD$。所以$HD = QD = AC$。所以$GF = 2AC$。