《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

1. (2024·嵊州)如图,已知直线 $ y = - 2x + 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点为点 $ C' $,点 $ C $ 从点 $ B \to $ 点 $ A $ 的运动过程中,$ \triangle C'OA $ 中依次出现的特殊三角形为(A)

A.直角三角形→等腰三角形→等腰三角形→直角三角形
B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰三角形
C.直角三角形→等腰三角形→等边三角形→等腰三角形
D.直角三角形→等腰三角形→等边三角形→直角三角形

答案： 1.A

2. (2024·长兴)如图,一次函数 $ y = - x + \sqrt { 2 } $ 第一象限的图象上有一点 $ P $,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线段,垂足为点 $ A $,连结 $ OP $,则 $ \mathrm { Rt } \triangle OAP $ 的周长的最小值是(C)

A.$ \sqrt { 2 } $
B.$ 2 \sqrt { 2 } $
C.$ \sqrt { 2 } + 1 $
D.$ \sqrt { 2 } + 2 $

答案：
2.C解析:在Rt△OAP中，当斜边OP取最小值时，Rt△OAP周长取最小值，此时OP垂直于直线y=-x+$\sqrt{2}$。y=-x+$\sqrt{2}$与x轴、y轴的交点分别为($\sqrt{2}$,0)，(0,$\sqrt{2}$)，可知y=-x+$\sqrt{2}$与x轴、y轴构成等腰直角三角形。
设y=-x+$\sqrt{2}$与x，y轴交点为M，N，MN=2。因为△MON为等腰直角三角形，所以当OP⊥MN时，OP=$\frac{1}{2}$MN = 1，∠POA = ∠NMO = 45°。

因为∠PAO = 90°，所以∠OPA = 45°，所以△OPA为等腰直角三角形，OA = AP，OA² + AP² = OP² = 1，2OA² = 1，OA² = $\frac{1}{2}$，OA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，AP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以C_{△OAP} = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + 1 = $\sqrt{2}$ + 1。故选C。

3. (2024·德清)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = - x + 3 $ 与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别交于 $ A,B $ 两点,点 $ C $ 的坐标为 $ ( 2,0 ) $,连结 $ BC $,把线段 $ BC $ 沿 $ y $ 轴向下平移 $ m ( m ＞ 0 ) $ 个单位长度得到线段 $ PQ $,连结 $ AP,AQ $,则 $ \triangle APQ $ 周长的最小值是(A)

A.$ \sqrt { 13 } + 5 $
B.$ \sqrt { 13 } + 4 \sqrt { 2 } $
C.$ \sqrt { 13 } + 6 $
D.$ \sqrt { 13 } + \sqrt { 37 } $

答案：
3.A解析:由题易得点A(3,0)，点B(0,3)。如图，将点A向上平移m(m＞0)个单位长度至点A₁处，易知点A₁(3,m)。连结A₁B，A₁C，易知C_{△APQ} = C_{△A₁BC}。
作点B关于直线x = 3的对称点B₁，可得点B₁(6,3)，连结B₁C，与直线x = 3交于点A₂，连结A₂B₁。C_{△A₁BC} = A₁B + A₁C + BC = A₁B₁ + A₁C + BC ≥ B₁C + BC。
因为B₁C = $\sqrt{(6 - 2)² + 3²}$ = 5，BC = $\sqrt{3² + 2²}$ = $\sqrt{13}$，所以△A₁BC的周长的最小值为$\sqrt{13}$ + 5，即△APQ的周长的最小值为$\sqrt{13}$ + 5。故选A。